Можно это переписать в свободной форме так:

или так:
Последовательность нижних приближений единицы и верхнее приближение на последнем этапе. Многое проясняется, если выписывать на каждом этапе

. Все энки не знаю, что если их бесконечное число? Например можно брать

и в конце

. Пример – две первые Ваши последовательности (в сущности одна). Каждый новый знаменатель не имеет общих делителей с предыдущими (как у Евклида), в числителе

всегда единица, значит можно продолжать до бесконечности или в любой момент остановиться (с минусом). Но это не все решения. Числитель

на заключительном этапе не обязательно должен быть единицей, как в Вашем последнем примере:

, но мерещится мне что это должна быть дробь из трех знаков с нулем в начале:

, причем второй знак должен быть вз. прост с прежними знаменателями. Могу ошибаться, но в любом случае там к заключительной дельте довольно суровые требования возникают. Как-то так.