Кострикин I гл. 6 задание 1.3

[Paul Ivanov]

Привожу дословно текст задачи.
Ненулевой многочлен $f \in \mathbb{Z}_p[X_1,...,X_n]$ степени $<p$ по каждой переменной обладает сформулированным в упр. 2 свойством: $f(a_1,...,a_n)\ne 0$ для некоторых $a_1,...,a_n \in \mathbb{Z}_p$. Показать, что любой многочлен $f \in \mathbb{Z}_p[X_1,...,X_n]$ можно записать в виде
$f(X_1,...,X_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}g_i(X_1,...,X_n)(X_i^p-X_i)+f^*(X_1,...,X_n)$, где $f^*$ - редуцированный многочлен $(deg_{X_i}f^*\leqslant p-1, i=1,2,...,n)$ степени $deg f^*\leqslant deg f$
Возникают три вопроса:
1. Что в данном случае (с многочленом от нескольких переменных) подразумевается под редуцированным многочленом - многочлен степень которого нельзя понизить по базису или многочлен для которого по базису нельзя сократить ни один из одночленов с максимальной степенью?
2. Что здесь берётся за базис редукции? Многочлены из множества $\left\lbrace g_i|i=1,2,...,n\right\rbrace$? Или что-то другое?
3. Точно ли под $g_i$ понимается произвольный многочлен?

[vpb]

Paul Ivanov
Начал я тут было писать объяснение, но понял, что можно ограничиться ссылкой. Почитайте Боревич, Шафаревич, Теория чисел, глава 1, параграф 1, пункт 1. И всё прояснится.

[Paul Ivanov]

vpb
Прочитал. Яснее не стало ни на грамм. Про редуцированность ничего не сказано. Имеется разве что сходство со следствием из указанного вами пункта, заключающееся в условии, что степень многочлена меньше, чем $n(p-1)$.
Я, наверное, что-то просто недогоняю. Прошу растолковать.

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1439784 писал(а):

Яснее не стало ни на грамм.

Это жаль. Ну ладно. Я, наверное, переоценил легкость вопроса.

Paul Ivanov в сообщении #1439784 писал(а):

Про редуцированность ничего не сказано

Зато там про приведенные многочлены написано. Это и есть редуцированные. To reduce --- приводить.
Редукция --- приведение. Reductio ad absurdum --- доказательство от противного, буквально "приведение к нелепости".
Судя по фразам

Paul Ivanov в сообщении #1438379 писал(а):

степень которого нельзя понизить по базису

Paul Ivanov в сообщении #1438379 писал(а):

по базису нельзя сократить

Paul Ivanov в сообщении #1438379 писал(а):

Что здесь берётся за базис редукции?

Вы что-то не так понимаете. Таких понятий нет. Редуцированный, ака приведенный --- тот, степень которого по каждой переменной меньше $p$. Например, $x^2y^4 + xy^6$ при $p=2,3,5$ не приведенный, а при $p\geq7$ --- приведенный. (Я написал многочлен с коэффициентами из ${\mathbb Z}$, но понятно, что это некая условность, на самом деле следует понимать коэффициенты (в нашем случае оба коэффициента равны $1$) как лежащие в поле ${\mathbb Z}_p$).

-- 15.02.2020, 00:05 --

Докажите, что если $f(X)\in{\mathbb Z}_p[X]$ --- любой многочлен от одной переменной с коэффициентами из ${\mathbb Z}_p$, то найдутся $g(X), h(X)\in{\mathbb Z}_p[X]$ такие, что $f(X)=g(X)(X^p-X)+h(X)$ и $\deg h(X)\leq p-1$.

[Paul Ivanov]

разобрался, спасибо.