Построить функцию по свойствам производных

[Dedekind]

Добрый день!

Условие.
Построить функцию, удовлетворяющую следующим свойствам для любого $m\in \mathbb{N}$:
1. $(4m+2)$-я производная имеет постоянный знак на промежутке $[0.4, 9]$;
2. $(4m+3)$ и $(4m+4)$ производные меняют знак на промежутке $[0.4, 9]$;
3. $(4m+5)$-я производная имеет постоянный знак на промежутке $[0.4, 9]$, который противоположен знаку $(4m+2)$-й производной на этом же промежутке.

Тут требуется привести собственные попытки решения, но, если честно, я даже не знаю, с какой стороны подходить к этой задаче. Так что буду благодарен за указание нужного направления.

[DeBill]

Dedekind
Можно попробовать двигаться в таком направлении:
Ну, трудно что-то там обеспечить для всех эм сразу. Однако жизнь облегчится, если функция Ваша обладает свойством "периодичности по производным": ее четвертая производная в точности равна самой функции (и тогда достаточно выполнения Вашего условия для производных порядка 0,1,2 и 3). Такие функции есть: это синус, косинус, $e^x$ и $e^{-x}$. Попробуйте найти линейную комбинацию этих четырех, чтобы Ваши условия выполнились хотя бы на каком-нить отрезке ( и тогда сдвигом и растяжением аргумента сделаете этот отрезок тем, который Вам и нужен).....

[svv]

DeBill
Я рассуждал совершенно так же. И нашёл чудесную, очень простую линейную комбинацию, которая обладает нужными свойствами на $[-1;1]$. Единственное «но»: для этого я написал программу на компьютере и подбирал коэффициенты, двигая четыре движка и глядя на графики. Не представляю, как это можно было бы сделать иначе.

[DeBill]

svv
Ну да, это - проблема...
Я внимательно не смотрел, но, на первый взгляд, не видно, как подобрать к-ты исходя из обчих соображений.

[Dedekind]

svv в сообщении #1438163 писал(а):

И нашёл чудесную, очень простую линейную комбинацию, которая обладает нужными свойствами на $[-1;1]$.

Надеюсь, поля этого форума не слишком малы, чтобы ее вместить? :)
Я по совету DeBill нашел следующую: $f(x) = 4e^{-x} - 4\sin{x}$. Вроде бы удовлетворяет всем свойствам на промежутке $[-1;1]$.
Но да, хотелось бы знать, как это можно получить аналитически.

[arseniiv]

Итак, пусть

$$f(x) = f^{(4)}(x) = P e^x + N e^{-x} + C \cos x + S \sin x.$$

Можно сначала усилить, что третья и четвёртая/нулевая производная должны зануляться не где попало, а в нуле. Тогда имеем (для четвёртой) $P + N + C = 0$ и (для третьей) $P - N - S = 0$. Далее потребуем в том же нуле положительность второй производной и отрицательность первой, что даст $P + N - C > 0$ и $P - N + S < 0$. М-м, теперь надо смотреть, сколько осталось свободы, и если нисколько не осталось, надо было хитрить больше.

-- Вт фев 04, 2020 02:57:55 --

Неравенства можно решить графически, оставив благодаря уравнениям лишь две неизвестных. Пусть $C = -P - N$, $S = P - N$, тогда неравенства дают $P + N > 0$ и $P - N < 0$. Да, остаётся целый угол, включающий положительную полуось $N$. Выберем $P = 0, N = 1$ (и тем самым $C = -1$ и $S = -1$), проверим свойства полученной $f(x) = e^{-x} - \cos x - \sin x$ на небольшой окрестности нуля: вторая производная $e^{-x} + \cos x + \sin x$ положительна как хотели, первая $-e^{-x} + \sin x - \cos x$ отрицательна там же, если мы выберем окрестность симметричной относительно нуля; третья и четвёртая производные $e^{\mp x} - \sin x \pm \cos x$ очевидно меняют в нуле знак.

Проверка тут была разумеется и не нужна, мы можем взять любую точку из того открытого угла $N > |P|$, если брать достаточно малюсенькую окрестность нуля.

-- Вт фев 04, 2020 03:12:08 --

Хм, нет, что это я, там не всё так очевидно, но работать всё равно должно.

-- Вт фев 04, 2020 03:15:58 --

Да, с третьей производной я поспешил.

-- Вт фев 04, 2020 03:22:20 --

Тут хотелось бы добавить очевидное условие $P + N + C > 0$, но оно противоречит одному из исходных. Значит никакого равенства нулю третьей и четвёртой производных в одном и том же нуле, увы!

-- Вт фев 04, 2020 03:25:33 --

Следующей итерацией можно предложить взять некий безбожно близкий к нулю эпсилон и приблизить экспоненту, синус и косинус квадратичными многочленами для нахождения системы на $P, N, C, S$. Уравнения будут квадратные, ну и неравенства тоже, и это всё решаемо. Если решение будет.

[svv]

Dedekind в сообщении #1438198 писал(а):

Надеюсь, поля этого форума не слишком малы, чтобы ее вместить? :)

Dedekind в сообщении #1438198 писал(а):

Я по совету DeBill нашел следующую: $f(x) = 4e^{-x} - 4\sin{x}$.

Именно эта! Только, конечно же, нужно выбросить четвёрки, которые ничего не меняют принципиально, лишь вид усложняют.

Интересно, что на более естественном (вроде бы) отрезке $[0,1]$ уже требуется три ненулевых коэффициента, и если приводить их к целым числам, получаются бОльшие по модулю.

[arseniiv]

svv
Как думаете, мой подход (с занулением в $\pm\varepsilon$ вместо нуля и квадратичными приближениями чтобы найти коэффициенты) может сработать (вообще мне стоило просчитать его на СКА, а не спрашивать, но мало ли)? Тогда получится, что нашли решение без особого подбора, а только с достаточно разумным усилением требований. А то вот функция ТС какая-то несимметричная в этом плане: одна производная пересекает ноль в нуле, другая в $\approx0{,}6$, э.

-- Вт фев 04, 2020 08:13:47 --

svv в сообщении #1438207 писал(а):

Интересно, что на более естественном (вроде бы) отрезке $[0,1]$ уже требуется три ненулевых коэффициента, и если приводить их к целым числам, получаются бОльшие по модулю.

А с симметричным отрезком будет беда?

[svv]

Я ставил себе задачу найти комбинацию с небольшими по модулю целыми коэффициентами. Искал сначала на отрезке $[0,1]$. Почти нашёл $(e^{-x}-\sin x)$, но одна из производных, вместо того чтобы менять знак внутри отрезка, делала это в нуле. Я просто махнул рукой и взял отрезок $[-1,1]$, и точка $x=0$ стала внутренней. Приведение $[-1,1]$ к другому отрезку (даже $[0,1]$) сдвигами и растяжениями по $x$ усложнит вид функций, хотя для завершения решения задачи всё равно придётся это делать.

Но для Вашего подхода всё равно, какой отрезок брать. Ну, получатся какие-то вещественные коэффициенты, ну, пускай они не очень красиво выглядят. Главное, чтобы нашлись.
Да, думаю, подход может сработать.