2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два барьера
Сообщение02.02.2020, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Одномерные кванты́, потенциал - два одинаковых прямоугольных барьера шириной $a$ и высотой $U$. Слева налетает частица массы $m$ с энергией $E<U$. Найти минимальное расстояние между центрами барьеров $L$ при котором коэффициент прохождения частицы в правую область равен $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 11:43 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Что-то не торопятся решать. А я ведь несколько лет тому назад решил эту задачу в лоб. Честное слово. Причем я не основывался на факте что такое резонансное пропускание возможно, я хотел это доказать. Но повторить этот подвиг сейчас я не смогу.
А вы действительно хотите точного решения? Или нужно доказать возможность резонансного пропускания - даже при высоких барьерах, что-то на основе аналитических свойств амплитуды?
Можно несколько упростить задачу. Скажем известен первый уровень резонансного пропускания, найти следующий. Такая задача решается "по олимпиадному"

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 11:55 


27/08/16
11733
AnatolyBa в сообщении #1438024 писал(а):
А я ведь несколько лет тому назад решил эту задачу в лоб. Честное слово.
Как решать в лоб, очевидно. Но не особо интересно. Записываем комплексные коэффициенты отражения и прохождения волновой функции через один барьер. Комбинируем линейно для бегущих волн внутри промежутка. Решаем систему уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 12:50 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Так я ведь и комплексные коэффициенты сам находил (в большинстве книг только модули приведены, правда сейчас нашел и коэффициенты). Для меня это был подвиг.
Но если известны комплексные коэффициенты для одиночного барьера, то "по олимпиадному" можно вывести соотношение $kL=\varphi+\pi n$ где $\varphi$ - фаза коэффициента отражения, при этом при вычислении коэффициентов начало координат в середине барьера - это сущесвенно для фазы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
А.И. Шафаревич решал эту (на самом деле более общую) задачу через матрицы монодромии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 19:57 


27/08/16
11733
Давайте рассуждать без расчётов. Насколько я помню, под барьером в мнимой волне фаза постоянна вдоль координаты. Волновая функция на границах барьера непрерывна. Если устремить высоту барьера в бесконечность, волновая функция под барьером будет стремиться к нулю. Значит, отраженная от передней грани барьера волна будет в противофазе (как с электромагнитной волной). А при прохождении задней грани барьера фаза сохраняется. Отраженная от второго барьера волна, пройдя через первый барьер в обратную сторону, должна в сумме подавить отражение от первой грани. Значит, внутри первого барьера она должна быть в фазе с исходной волной. Значит, дополнительный фазовый сдвиг при пролёте туда-обратно в промежутке должен быть равен $\pi$, и минимальное расстояние между барьерами равно четверти длины волны де Бройля. А между центрами барьеров прибавить ширину барьера.

Более того, на самом деле, фаза отраженной волны не важна. Важно только отсутствие фазового сдвига под барьером. Надеюсь, я не ошибся: мне сейчас лень брать в руки бумажку и записывать уравнение Шрёдингера для свободной частицы, чтобы это проверить. Вот, да, уже для этого нужна бумажка. :(

Впрочем, в этих рассуждениях есть пара скользких мест. Фаза отражения, всё же, важна и влияет на фазу волны в полости на задней грани первого барьера по отношению к фазе исходной волны. Т. е. нужно всё-таки аккуратно считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение03.02.2020, 23:42 
Заслуженный участник


21/09/15
998
По моему там фазовые соотношения более сложные, на пальцах не получить.
Я подсмотрел у Шиффа формулу для коэффициентов отражения и прохождения.
Если ничего не напутал, для коэффициента отражения одного барьера $\varphi=-ka$.
Т. е. $L=-a+\frac{\pi n}{k}$, естественно $L>a$, отсюда условие для $n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение04.02.2020, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Имеется, стало быть, нестационарное уравнение Шрёдингера$$i\hbar \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} =  - \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}\frac{{\partial ^2 \Psi }}{{\partial x^2 }} + V\left( x \right)\Psi $$Нас интересуют состояния с определённой энергией, значит$$i\hbar \frac{{\partial \Psi }}{{\partial t}} = E\Psi $$Откуда $$\Psi \left( {t,x} \right) = e^{ - i\frac{E}{\hbar }t} \psi \left( x \right)$$где $\psi$ удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера$$ - \frac{{\hbar ^2 }}{{2m}}\frac{{d^2 \psi }}{{dx^2 }} + V\left( x \right)\psi  = E\psi$$Если в некоторой области $\psi  \sim e^{ikx} $, то $\Psi  \sim e^{ - i\left( {\frac{E}{\hbar }t - kx} \right)} $ и при $k>0$ имеем волну, бегущую вправо.

Рассмотрим барьер вида$$V\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}   U & {0 < x < a}  \\   0 & \text{в остальных случаях}  \\ \end{array} } \right.$$Решение уравнения Шрёдингера устроено так$$\[
\psi  = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {Ae^{ikx}  + Be^{ - ikx} } & {x < 0}  \\
   {C\operatorname{ch} \kappa x + D\operatorname{sh} \kappa x} & {0 \leqslant x \leqslant a}  \\
   {A'e^{ik\left( {x - a} \right)}  + B'e^{ - ik\left( {x - a} \right)} } & {a < x}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$где $k: = \dfrac{{\sqrt {2mE} }}{\hbar }$ и $\kappa : = \dfrac{{\sqrt {2m\left( {U - E} \right)} }}{\hbar }$

Сшивая до первой производной в точках $x=0$ и $x=a$, получаем систему уравнений $$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {A + B = C}  \\
   {ik\left( {A - B} \right) = \kappa D}  \\
   {C\operatorname{ch} \kappa a + D\operatorname{sh} \kappa a = A' + B'}  \\
   {\kappa \left( {C\operatorname{sh} \kappa a + D\operatorname{ch} \kappa a} \right) = ik\left( {A' - B'} \right)}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Её решение $$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A'}  \\
   {B'}  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \alpha  & {\bar \beta }  \\
   \beta  & {\bar \alpha }  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A  \\
   B  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$где$$\[
\begin{gathered}
  \alpha : = \operatorname{ch} \kappa a + \frac{i}
{2}\left( {\frac{k}
{\kappa } - \frac{\kappa }
{k}} \right)\operatorname{sh} \kappa a \hfill \\
  \beta : = \frac{i}
{2}\left( {\frac{k}
{\kappa } + \frac{\kappa }
{k}} \right)\operatorname{sh} \kappa a \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$Найдём ещё оператор сдвига. Пусть $\psi \left( x \right) = Ae^{ikx}  + Be^{ - ikx} $, тогда положим $\psi \left( {x + l} \right) = A_l e^{ikx}  + B_l e^{ - ikx} $ где $$\[
\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {A_l }  \\
   {B_l }  \\

 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \lambda  & 0  \\
   0 & {\bar \lambda }  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   A  \\
   B  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$и $\lambda : = e^{ikl} $

Переходим к двум барьерам: $$\[
V\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   U & {0 \leqslant x \leqslant a}  \\
   U & {l + a \leqslant x \leqslant l + 2a}  \\
   0 & \text{в остальных случаях}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Обозначив для краткости $${\mathbf{v}}: = \left( {\begin{array}{*{20}c}   A  \\   B  \\ \end{array} } \right)$$последовательно находим$$\[
{\mathbf{v}}_0  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1  \\
   0  \\

 \end{array} } \right),\quad {\mathbf{v}}_a  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \alpha  & {\bar \beta }  \\
   \beta  & {\bar \alpha }  \\

 \end{array} } \right) \cdot {\mathbf{v}}_0 ,\quad {\mathbf{v}}_{l + a}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \lambda  & 0  \\
   0 & {\bar \lambda }  \\

 \end{array} } \right) \cdot {\mathbf{v}}_a ,\quad {\mathbf{v}}_{l + 2a}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   \alpha  & {\bar \beta }  \\
   \beta  & {\bar \alpha }  \\

 \end{array} } \right) \cdot {\mathbf{v}}_{l + a}  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {e^{i\phi } }  \\
   0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$$Что даёт систему$$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha ^2 \lambda  + \left| \beta  \right|^2 \bar \lambda  = e^{i\phi } }  \\
   {\beta \left( {\alpha \lambda  + \overline{\alpha \lambda} } \right) = 0}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Поскольку $\beta  \ne 0$, имеем $$\operatorname{Re} \left( {\alpha \lambda } \right) = 0$$Вычисляя, получаем $$\[
\operatorname{ctg} \left( {kl} \right) = \frac{1}
{2}\left( {\frac{k}
{\kappa } - \frac{\kappa }
{k}} \right)\operatorname{th} \left( {\kappa a} \right)
\]
$$или, после подстановки $k$ и $\kappa$: $$\[
\operatorname{ctg} \left( {\frac{{\sqrt {2mE} }}
{\hbar }l} \right) = \frac{{E - U/2}}
{{\sqrt {E\left( {U - E} \right)} }}\operatorname{th} \left[ {\frac{{\sqrt {2m\left( {U - E} \right)} }}
{\hbar }a} \right]
\]
$$Откуда находим все резонансные длины $$l = l_0  + \frac{{\pi \hbar }}{{\sqrt {2mE} }}n, \quad n = 1,2,3...$$где $l_0$ - минимальное положительное решение.

Предельные случаи. $$\[
\begin{gathered}
  E \to 0:l_0  \to \frac{{\pi \hbar }}
{{\sqrt {2mE} }} \hfill \\
  E = U/2:l_0  = \frac{{\pi \hbar }}
{{2\sqrt {mU} }} \hfill \\
  E \to U:l_0  \to \frac{\hbar }
{{\sqrt {2mU} }}\operatorname{arctg} \left( {\frac{{2\hbar }}
{{a\sqrt {2mU} }}} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$Вычислить фазу $\phi $ также не трудно $$\[
\left| \lambda  \right| = 1 \Rightarrow \lambda e^{i\phi }  = \left( {\alpha \lambda } \right)^2  + \left| \beta  \right|^2  = \left\{ {\operatorname{Re} \left( {\alpha \lambda } \right) = 0} \right\} = \left| \beta  \right|^2  - \left| {\alpha \lambda } \right|^2  = \left| \beta  \right|^2  - \left| \alpha  \right|^2  =  - 1
\]
$$откуда $$\phi  = \pi  - kl$$Подобным образом можно рассчитать сколько угодно одинаковых барьеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение04.02.2020, 20:17 


27/08/16
11733
Любопытно. Т. е. отсутствие фазового сдвига внутри барьера я угадал, а вот нетривиальные фазовые сдвиги на передней границе барьера угадать не смог. Действительно, на пальцах не считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение05.02.2020, 15:05 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Так. Вижу, формулу для коэффициентов из Шиффа мне списать правильно не удалось. Печально, но я это подозревал.
Чем мне нравится эта задача. Достаточно неочевидно - и интересно, что даже для высоких/широких барьеров существует возможность резонансного просветления, причем коэффициент прохождения достигает единицы.
Однако, это связано с существованием метастабильного уровня (опять же, для высоких/широких барьеров). А этот интересный физический факт приведенное решение как-то не выявляет.
Что касается метода решения. Такой матричный подход применяется в оптике (плюс электрооптика, оптика магнитных линз), расчете 4-х полюсников, в том числе длинных линий - это из того, что мне известно.
Т. е. подход интересный, но насколько он "олимпиадный"? В приведенном решении есть парочка описок. Несмотря на это, ответ приведен правильный. Но мы видим, как легко сделать механическую ошибку.
Для олимпиады, по-моему, не очень хорошо

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение05.02.2020, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
AnatolyBa в сообщении #1438408 писал(а):
В приведенном решении есть парочка описок.
Одну исправил сам, где ещё?

P.S. Может и есть олимпиадное решение, с отражениями всякими, но думать лень. Я просто для себя проверил, так ли это.

P.P.S. Вообще, довольно неоднозначный вопрос: что проще - механически по известному алгоритму прочургыкать к решению или заморачиваться отыскиванием всякого рода халяв. Первое уже не так непреодолимо вследствие наличия присутствия систем компьютерной алгебры, хоть я ими для этой задачи и не пользовался. Но вот, например, тензор Римана-Кристоффеля вручную считать - то ещё удовольствие...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два барьера
Сообщение05.02.2020, 18:21 
Заслуженный участник


21/09/15
998

(Оффтоп)

Ввиду непринципиальности - под оффтопом
Утундрий в сообщении #1438280 писал(а):
$\kappa \left( {C\operatorname{sh} \kappa a - D\operatorname{ch} \kappa a} \right) = ik\left( {A' - B'} \right) $

Слева все-таки плюс
Утундрий в сообщении #1438280 писал(а):
$\beta \left( {\alpha \lambda  + \alpha \lambda } \right) = 0$

Не хватает знаков комплексного сопряжения

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group