Продолжение гладкой функции с открытого подмножества

[mmadt]

Добрый день.

Подскажите, пожалуйста, ответ на следующий вопрос. Пусть $M$ - гладкое многообразие, $U\subset M$ - его открытое подмножество, $C^{\infty}(M)$, $C^{\infty}(U)$ - алгебры гладких функций, соответственно на $M$ и $U$. Выберем произвольную функцию $h\in C^{\infty}(U)$. Всегда ли существует такая функция $g\in C^{\infty}(M)$, что произведение $g|_Uh\in C^{\infty}(U)$ может быть продолжено до некоторой функции $f\in C^{\infty}(M)$? Или, если слегка переформулировать утверждение, всегда ли функция $h$ может быть представлена как отношение некоторых функций из $C^{\infty}(M)$: $h=\frac{f|_U}{g|_U}? Существуют ли, вообще, какие-либо достаточно общие критерии "продолжимости" функции с открытого подмножества?

Спасибо.

[Padawan]

mmadt в сообщении #1437557 писал(а):

Всегда ли существует такая функция $g\in C^{\infty}(M)$, что произведение $g|_Uh\in C^{\infty}(U)$ может быть продолжено до некоторой функции $f\in C^{\infty}(M)$?

$g\equiv 0$ подойдет?

mmadt в сообщении #1437557 писал(а):

всегда ли функция $h$ может быть представлена как отношение некоторых функций из $C^{\infty}(M)$: $h=\frac{f|_U}{g|_U}$?

То есть, Вам нужно еще условие $g(x)\neq 0$ для всех $x\in U$. Думаю, ответ положительный, надо устроить функцию, очень быстро стремящуюся к нулю при приближении к границе $U$.

[mmadt]

Нет, $g\equiv 0 $ не подойдёт. :) Вы правильно угадали важное дополнительное условие, которое было у меня "в голове", но которое я забыл явно указать. Спасибо за эту поправку.

Цитата:

Думаю, ответ положительный, надо устроить функцию, очень быстро стремящуюся к нулю при приближении к границе $U$.

Да, само утверждение не выглядит заведомо неправильным. Однако, мне не ясно, как это можно было бы доказать. Локально в $U$ утверждение справедливо: т.е. для любой $x\in U$ мы можем найти открытое подмножество $O_x\subset U$, $x\in O_x$, и функции $f_x$, $g_x$ такие, что $h|_O=\frac{f_x|_O}{g_x|_O}$. Но как распространить его на всё множество $U$, непонятно. Поскольку "локальное" утверждение справедливо только для точек $U$, мы можем использовать лишь "разбиение единицы" для $U$, которое не даёт автоматического продолжения на многообразие $M$.

[g______d]

Введём $U_n=\{x\in U\colon \mathrm{dist}(x,\partial U)\ge 2^{-n}\}$. Сначала построим гладкие функции $g_n\colon U\to [0,+\infty)$, такие что $g_n=1$ на $U_n$ и $g_n=0$ на $U\setminus U_{n+1}$. Их легко построить, например, сглаживая функцию расстояния до границы (сгладить можно, например, сворачивая с гладкой функцией с маленьким носителем, пока мы отделены от границы это не проблема).

После этого строим $g=\sum_n c_n g_n$, где $c_n>0$ и они убывают достаточно быстро. Достаточно чего-нибудь типа

$$ \|c_n g_n h\|_{C^n(U)}=\|c_n g_n h\|_{C^n(U_{n+1})}\le\frac{1}{2^n}. $$

Поскольку $U_n$ компактно, этого легко добиться выбором $c_n$. Идея в том, что количество производных должно увеличиваться одновременно с приближением к границе. Поскольку ближе к границе ненулевой вклад вносит только хвост ряда, мы также получаем требуемое убывание.

[mmadt]

Спасибо за идею. Она, однако, требует некоторого уточнения. Во-первых, выбранные Вами множества $U_n$ не обязаны быть компактными - простейший контрпример: $M=\mathbb{R}$, $U=\{x > 0\}$, $U_1=\{x\ge 1/2\}$. Тем не менее, исчерпание множества $U$ компактными подмножествами существует (существует для любого локально-компактного и хаусдорфова топологического пространства со счётной базой - например, J. Lee "Introduction to Smooth Manifolds", second ed., 2012, A.60). Во-вторых, приведённое рассуждение непосредственно применимо, видимо, только лишь к подмножествам $\mathbb{R}^n$. В-третьих, я, к сожалению, не знаком с использованными Вами обозначениями для нормы на пространстве функций - могу лишь предположить, учитывая Ваши дальнейшие пояснения, что она вычисляется на основе значений самой функции и $n$ первых её производных.

Пусть $O\in\mathbb{R}^n$ - открытое подмножество, $(K_i)_{i=1}^{\infty}$ - исчерпание $O$ компактными подмножествами, $(g_i)_{i=1}^{\infty}$, $g_i\in C^{\infty}(U)$,

$$ g_i=\begin{cases} 1,&\text{если $x\in K_i$;}\\ 0,&\text{если $x\in U\setminus\mathrm{Int}K_{i+1}$;}\\ 0<g(x)<1,&\text{если $x\in \mathrm{Int}K_{i+1}\setminus K_i$.} \end{cases} $$

- набор функций, $h\in C^{\infty}(U)$ - произвольная функция. Множества $K_i$ замкнуты в $\mathbb{R}^n$, как компактные подмножества хаусдорфова пространства. Поэтому мы можем определить гладкие на $\mathbb{R}^n$ функции $\chi_i$ и $\xi_i$:

$$ \chi_i=\begin{cases} g_i(x),&\text{если $x\in U$}\\ 0,&\text{если $x\in \mathbb{R}^n\setminus K_{i+1}$} \end{cases} $$

$$ \xi_i=\begin{cases} g_i(x)h(x),&\text{если $x\in U$}\\ 0,&\text{если $x\in \mathbb{R}^n\setminus K_{i+1}$.} \end{cases} $$

Пусть

$$ A_i=\sup\limits_{0\le k<i, k_1+\cdots+k_n=k, x\in\mathbb{R}^n}\big|\frac{\partial^{k}\chi_i}{\partial^{k_1}x_1\cdots\partial^{k_n}x_n}\big|,\indent B_i=\sup\limits_{0\le k<i, k_1+\cdots+k_n=k, x\in\mathbb{R}^n}\big|\frac{\partial^{k}\xi_i}{\partial^{k_1}x_1\cdots\partial^{k_n}x_n}\big|, $$

$$ C_i=\max(A_i, B_i). $$

Определим функции $f$ и $g$ как формальные ряды функций:

$$ g = \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\chi_i}{2^i C_i},\indent f = \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\xi_i}{2^i C_i}. $$

Эти ряды равномерно сходятся как для самих функций, так и для их формальных производных, поэтому $f$ и $g$ - гладкие на $\mathbb{R}^n$. Функция $g$ положительно определена на $U$, поскольку для любой точки $x\in U$ всегда найдётся $i_0$ такое, что $x\in K_{i_0}$, а значит $\forall i\ge i_0$ $\chi_i(x) = 1$. Функция же $f$ удовлетворяет условию: $f|_U=g|_Uh$. Требуемые функции найдены.

Теперь, пусть $M$ - произвольное гладкое многообразие, $\mathcal{A}=(V_{\alpha}, \phi_{\alpha})$ - гладкий атлас, $U$ наследует гладкую структуру из $M$. Функция $h\in C^{\infty}(U)$ задаёт гладкую функцию $\tilde{h}=h\circ\phi_{\alpha}^{-1}$ на каждом открытом в $\mathbb{R}^n$ подмножестве $W=\phi_{\alpha}(V_{\alpha}\cap U)$, если $V_{\alpha}\cap U\not=\emptyset$. Как уже было показано, для этой функции существуют гладкие на всём $\mathbb{R}^n$ функции $\rho$ и $\nu$ такие, что $\rho|_W\tilde{h}$ продолжается до $\nu$. Ограничивая эти функции на множество $\phi_{\alpha}(V_{\alpha})$, получаем, что существуют функции $f_{\alpha}, g_{\alpha}\in C^{\infty}(V_{\alpha})$, $f_{\alpha}=\nu\circ\phi_{\alpha}$, $g_{\alpha}=\rho\circ\phi_{\alpha}$, для которых справедливо утверждение, что $g_{\alpha}|_{V_{\alpha}\cap U}h$ продолжается до $f_{\alpha}$. Пусть $\psi_{\alpha}$ - разбиение единицы, подчинённое покрытию $V_{\alpha}$. Тогда функции $g_{\alpha}\psi_{\alpha}$ и $f_{\alpha}\psi_{\alpha}$ продолжаются до функций, гладких на $M$. Построим $g=\sum_{\alpha}g_{\alpha}\psi_{\alpha}$ и $f=\sum_{\alpha}f_{\alpha}\psi_{\alpha}$, где суммирование идёт по всем значениям $\alpha$, для которых выполняется условие $V_{\alpha}\cap U\not=\emptyset$. Эти функции также гладкие на $M$, и $g|_U > 0$ (так как все $g_{\alpha} >0$) и $f|_U = g|_Uh$. Утверждение доказано.

P.S. Вместо исчерпания компактными подмножествами мы могли бы взять счётное покрытие $U$ предкомпактными в нём открытыми шарами, а вместо выбранных $g_i$ функции, которые положительно определены каждая на своём шаре из покрытия и равные нулю вне его. Дальнейшие рассуждения остались бы справедливы.

[g______d]

mmadt в сообщении #1437794 писал(а):

Во-первых, выбранные Вами множества $U_n$ не обязаны быть компактными

Да, согласен -- я почему-то предположил, что $U$ является ограниченной областью в $\mathbb R^n$ и не рассмотрел общий случай.

Под $\|f\|_{C^n(U)}$ я, действительно, понимаю $\sup\limits_{x\in U, |\ell|\le n}\left|\frac{\partial^{|\ell|} f}{\partial x^\ell}\right|$, где $\ell$ -- мультииндекс.

Ваши дальнейшие рассуждения аккуратнее, чем мои.

[mmadt]

Спасибо.