Восстановление функции по нулям

[TelmanStud]

Существует ли аналитическая функция с нулями $\{\ln n\},\,n\in \mathbb {N} $.
Если есть, то как её представить в виде бесконечного произведения.
Спасибо заранее!

[svv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstra ... ied_zeroes

[ozheredov]

svv в сообщении #1437438 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem#Existence_of_entire_function_with_specified_zeroes

А-фи-геть. После такого реально начинаешь уважать матан.
А это имеет какой то выход на прикладные задачи? (пардон, если вопрос нескромный)

[svv]

Совершенно нормальный вопрос. Приведу пример из личной практики.

Имеется линейная стационарная система (природа её значения не имеет), с входом и выходом. Для данной частоты $\omega$ отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигнала равно комплексному коэффициенту передачи системы $H(j\omega)$. У функции $H(j\omega)$ есть полюсы, которые соответствуют частотам собственных (резонансных) колебаний системы.

Подадим на вход системы финитный (ограниченный по времени) сигнал. В ответ система уже после окончания внешнего воздействия будет более или менее долго "звенеть" на резонансных частотах. Допустим, ставится задача избежать этого, не меняя системы. Решение может быть таким: подадим на вход сигнал, спектр которого имеет нули точно на резонансных частотах системы. Фактически, на этих частотах мы на вход ничего не подаём.

Формула, приведённая в статье Википедии, позволяет сконструировать нужный спектр входного сигнала в виде целой функции экспоненциального типа. А преобразование Фурье от таких функций автоматически даёт финитный сигнал.

[TelmanStud]

svv в сообщении #1437438 писал(а):

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem#Existence_of_entire_function_with_specified_zeroes

Спасибо.
У меня взяв $p_n=n$ вышло, что ряд

$$ \sum _{{n=1}}^{\infty }\left(r/|\ln(n+1)|\right)^{{1+n}}$$

сходится абсолютно по признаку Даламбера, для всякого $r>0$.
Далее

$$f(z)=\prod _{n=1}^{+\infty } \left(1-\frac{z}{\ln (n+1) }\right) e^{\sum _{k=1}^n \frac{z^k}{k \log ^k(k+1)}}$$

Хочу проверить на машине$ f(\ln 2)$, никак не хочет выдавать ответ.
И остался вопрос как к списку нулей добавить $\ln 1$?

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1437606 писал(а):

И остался вопрос как к списку нулей добавить $\ln 1$?

Домножить на что-нибудь, равное $0$ в нуле и ненулевое вне нуля (есть очень простая такая функция).

TelmanStud в сообщении #1437606 писал(а):

Хочу проверить на машине$ f(\ln 2)$, никак не хочет выдавать ответ.

А что проверяете? Первый же сомножитель нулевой.
Тут имело бы смысл проверять, что произведение 1) вообще сходится в остальных точках; 2) сходится не к нулю. Но численно это вряд ли получится оценить.

[TelmanStud]

Цитата:

Домножить на что-нибудь, равное $0$ в нуле и ненулевое вне нуля (есть очень простая такая функция).

Спасибо.

Цитата:

А что проверяете? Первый же сомножитель нулевой.

Смущает бесконечное произведение.

Цитата:

Тут имело бы смысл проверять, что произведение 1) вообще сходится в остальных точках; 2) сходится не к нулю. Но численно это вряд ли получится оценить.

А разве условие

$$ \sum _{{n=1}}^{\infty }\left(r/|\ln(n+1)|\right)^{{1+n}}<\infty $$

не гарантирует это?

[mihaild]

TelmanStud в сообщении #1437611 писал(а):

Смущает бесконечное произведение

А в чем проблема? Если в бесконечном произведении один из сомножителей нулевой, то всё произведение тоже нулевое независимо от остальных сомножителей (т.к. значение произведения - это предел конечных произведений, а они все, начиная с некоторого, нулевые).

TelmanStud в сообщении #1437611 писал(а):

А разве условие $\sum _{{n=1}}^{\infty }\left(r/|\ln(n+1)|\right)^{{1+n}}<\infty $не гарантирует это?

Гарантирует. И вообще, указанная теорема гарантирует что получившееся произведение нужное. Просто тогда не очень понятно, что вы еще дополнительно проверить хотите.

[Padawan]

TelmanStud в сообщении #1437429 писал(а):

Существует ли аналитическая функция с нулями $\{\ln n\},\,n\in \mathbb {N} $.

$\frac 1{\Gamma(1-e^z)}$ аналитична во всей комплексной плоскости и имеет нули $\ln n+2\pi i k$, $n\in\mathbb N$, $k\in\mathbb Z$.

[TelmanStud]

Цитата:

А в чем проблема? Если в бесконечном произведении один из сомножителей нулевой, то всё произведение тоже нулевое независимо от остальных сомножителей (т.к. значение произведения - это предел конечных произведений, а они все, начиная с некоторого, нулевые).

Просто кажется, что $n$-й член произведения не стремится к $1$.

-- 30.01.2020, 20:33 --

Padawan в сообщении #1437619 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1437429 писал(а):

Существует ли аналитическая функция с нулями $\{\ln n\},\,n\in \mathbb {N} $.

$\frac 1{\Gamma(1-e^z)}$ аналитична во всей комплексной плоскости и имеет нули $\ln n+2\pi i k$, $n\in\mathbb N$, $k\in\mathbb Z$.

Вот спасибо