Число точек биквадратичной кривой Ферма по простому модулю

[nnosipov]

Пусть $p \equiv 1 \pmod{4}$ --- простое число. Докажите, что число решений уравнения $x^4+y^4=1$ над полем $\mathbb{F}_p$ равно

$$ \begin{cases} p-3+6a, & \text{если $p \equiv 1 \pmod{8}$},\\ p+1-2a, & \text{если $p \equiv 5 \pmod{8}$}. \end{cases} $$

Здесь $a$ однозначно определяется условиями: $p=a^2+b^2$ (разложение в сумму двух квадратов) и $a \equiv -1 \pmod{4}$.

Комментарий. Это, конечно, известная задача. Предлагается найти решение без применения сумм Якоби.

[nnosipov]

Решение задачи с помощью сумм Якоби содержится в упражнениях 16-18 после главы 8 "Суммы Гаусса и Якоби" в книге: Айерлэнд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987. Однако вид ответа намекает на более прямой путь решения --- с использованием только сумм Якобсталя (и простых соображений общего характера). Как известно, через суммы Якобсталя

$$\phi(n)=\sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{x^3+nx}{p}\right)$$

выражаются $a$ и $b$ в представлении $p=a^2+b^2$. А именно, если считать $a$ нечетным, а $b$ четным, то $a=\pm \phi(n_1)/2$ и $b=\pm \phi(n_2)/2$, где $n_1$ --- какой-нибудь квадратичный вычет по модулю $p$, а $n_2$ --- какой-нибудь квадратичный невычет.

Для разминки можно начать со случая, который в задаче не рассматривается и который существенно проще. Чему равно число решений уравнения $x^4+y^4=1$ над полем $\mathbb{F}_p$ при $p \equiv 3 \pmod{4}$?