2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Число точек биквадратичной кривой Ферма по простому модулю
Сообщение28.01.2020, 12:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть $p \equiv 1 \pmod{4}$ --- простое число. Докажите, что число решений уравнения $x^4+y^4=1$ над полем $\mathbb{F}_p$ равно $$
\begin{cases}
p-3+6a, & \text{если $p \equiv 1 \pmod{8}$},\\
p+1-2a, & \text{если $p \equiv 5 \pmod{8}$}.
\end{cases}
$$Здесь $a$ однозначно определяется условиями: $p=a^2+b^2$ (разложение в сумму двух квадратов) и $a \equiv -1 \pmod{4}$.

Комментарий. Это, конечно, известная задача. Предлагается найти решение без применения сумм Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Число точек биквадратичной кривой Ферма по простому модулю
Сообщение29.01.2020, 08:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Решение задачи с помощью сумм Якоби содержится в упражнениях 16-18 после главы 8 "Суммы Гаусса и Якоби" в книге: Айерлэнд К., Роузен М., Классическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987. Однако вид ответа намекает на более прямой путь решения --- с использованием только сумм Якобсталя (и простых соображений общего характера). Как известно, через суммы Якобсталя $$\phi(n)=\sum_{x=0}^{p-1}\left(\frac{x^3+nx}{p}\right)$$ выражаются $a$ и $b$ в представлении $p=a^2+b^2$. А именно, если считать $a$ нечетным, а $b$ четным, то $a=\pm \phi(n_1)/2$ и $b=\pm \phi(n_2)/2$, где $n_1$ --- какой-нибудь квадратичный вычет по модулю $p$, а $n_2$ --- какой-нибудь квадратичный невычет.

Для разминки можно начать со случая, который в задаче не рассматривается и который существенно проще. Чему равно число решений уравнения $x^4+y^4=1$ над полем $\mathbb{F}_p$ при $p \equiv 3 \pmod{4}$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group