Первое борновское приближение без функций Грина

[madschumacher]

Добрый вечер Всем.

Хочу посчитать амплитуду рассеяния кулоновским полем в первом борновском приближении, но без использования функций Грина, который встречается в каждом литературном источнике.

Исхожу из стандартной формы для волновой функции в сферических координатах $(r,\varphi,\theta)$:
$ \psi = \psi_{\rightarrow}(r,\theta) + \lambda \underbrace{f(\theta) \psi_{\odot}(r)}_{\psi_\mathrm{s}} \ , $
где $\psi_{\rightarrow}(r,\theta) = \exp(ik r \cos(\theta))$ -- налетающая плоская волна вдоль оси $z$, $\psi_{\odot}(r) = \exp(ikr)/r$ -- сферическая волна, $f(\theta)$ -- искомая амплитуда рассеяния, $\psi_\mathrm{s}$ -- рассеянная функция, а $\lambda$ -- параметр малости возмущения. Гамильтониан задачи имеет вид
$ \hat{H} = \underbrace{-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta}_{\hat{T}} + \lambda \hat{V} \ , $
где $\hat{V}$ -- рассеивающий потенциал, а $\hat{T} \psi_{\rightarrow} = E_0 \psi_{\rightarrow}$ и $\hat{T} \psi_{\odot} = E_0 \psi_{\odot}$.

Подставляя волновую функцию в уравнение Шрёдингера
$\hat{H} \psi = E_0 \psi$
и приводя члены при первом порядке малости по параметру возмущений $\lambda^1$, у нас остаётся борновское уравнение на рассеянную функцию:
$\hat{T} \psi_\mathrm{s} + \hat{V} \psi_{\rightarrow} = E_0 \psi_\mathrm{s} $
и его обычно и решают через функцию Грина свободной частицы.

Если же мы его преобразуем используя лапласиан в сферических координатах, то у нас останется
$\psi_{\odot} \hat{T} f = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi_{\odot}}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin(\theta) \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) = - \hat{V} \psi_{\rightarrow}$
Если это домножить слева на $\psi_{\odot}^*$ и заменить $\theta \rightarrow \xi = \cos(\theta)$ получается что-то отдалённо напоминающее искомое, но всё ж не то.

Собственно, у меня вопросы: как правильно интегрировать это дифференциальное уравнение на одну переменную (как правильно учесть якобиан перехода в сферические координаты), и когда нужно интегрировать по остальным координатам ($r,\varphi$), поскольку тут дифур второго порядка, а при использовании функций Грина происходит одно интегрирование?

Извиняюсь что так всё усложняю, но тут уже дело заклина.