Как решить диф. ур-е 2 порядка?

[Ascold]

Собственно

$$y''+(ax^2+bx+c)y=0,$$

нельзя ли, например, заменить переменную $x$ как-нибудь, чтобы получить ур-е какой-нибудь спецфункции - ортогонального многочлена? Я пробовал $x=1/t$ - не получается.

[Munin]

Практику полезны справочники Зайцева-Полянина. Скачайте их все, какие найдёте, и держите под рукой.

Зайцев, Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 2001.

Цитата:

2. Уравнения второго порядка.
2.1. Линейные уравнения второго порядка.
2.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции.
2.1.2.6. $\boldsymbol{y''_{xx}-(ax^2+bx+c)y=0}$
Замена $\xi=x+\dfrac{b}{\,2a\,}$ приводит к уравнению вида 2.1.2.4:   $y''_{\xi\xi}-\Bigl(a\xi^2+c-\dfrac{b^2}{\,4a\,}\Bigr)y=0.$
----------------
2.1.2.4. $\boldsymbol{y''_{xx}-(ax^2+b)y=0}$
Преобразование $z=x^2\sqrt{a},\,\,u=e^{z/2}y$ приводит к вырожденному гипергеометрическому уравнению 2.1.2.65:   $zu''_{zz}+\Bigl(\dfrac{1}{\,2\,}-z\Bigr)u'_z-\dfrac{1}{\,4\,}\Bigl(\dfrac{b}{\,\sqrt{a}\,}+1\Bigr)u=0.$

и далее 2.1.2.65 - две страницы текста.