Существование матрицы B со свойством AB=O и r(A)+r(B)=n

[spp12]

Доказать, что для любой квадратной $n\times n$ матрицы $A$ существует $n\times n$ матрица $B$ такая, что $AB=O$ и $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=n$. Здесь $O$ - нулевая матрица.

Мои соображения. Если матрица $A$ невырождена, то решение тривиально: $A=O$.

Если матрица $A$ вырождена, то видимо решение задачи как-то связано с ортогональным дополнением, на ум приходит сумма ранга и дефекта матрицы. Но вот всё это применить и доказать строго не получается. Помогите, пожалуйста.

[Otta]

Очевидно, что каждый столбец матрицы $B$ должен лежать в ядре $A$. Как связаны размерность ядра и образа оператора, тоже известно.