Зависимость и независимость в статистическом эксперименте

[B@R5uk]

Не смотря на то, что ответ на свой вопрос я уже сообразил, я всё-таки его задам, чтобы уж наверняка. Ну, и, возможно, есть какие-нибудь связанные тонкие моменты, которые мне стоило бы знать. Очень надеюсь на креативную помощь.

Вопрос практический. Рассмотрим некоторую случайную величину $\xi$, и пусть она для простоты эксперимента равномерно распределёна на отрезке $\left[0,1\right]$. Рассмотрим две пороговых величины $\alpha$ и $\beta$, и пусть они (тоже для простоты и удобства) удовлетворяют неравенствам $0<\alpha<\beta<1$.

В k-ом элементарном подэксперименте берётся случайное значение $\xi_k$ рассматриваемой случайной величины $\xi$ и сравнивается с пороговыми величинами $\alpha$ и $\beta$. При этом, если результат сравнения "меньше", то говорим, что это удача, и присваиваем значение 1 величине $\mu_k$ для пороговой величины $\alpha$ и 1 величине $\nu_k$ — для $\beta$. Если результат сравнения "больше", то говорим, что это неудача, и присваиваем, соответственно, 0. Разумеется, что если значение $\xi_k$ лежит между величинами $\alpha$ и $\beta$, то $\mu_k=0$, а $\nu_k=1$. То есть:

$$\[\begin{matrix} {{\mu }_{k}}=\left\{ \begin{matrix} 0, & {{\xi }_{k}}>\alpha \\ 1, & {{\xi }_{k}}<\alpha \\ \end{matrix} \right., & {{\nu }_{k}}=\left\{ \begin{matrix} 0, & {{\xi }_{k}}>\beta \\ 1, & {{\xi }_{k}}<\beta \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix}\] $$

Если это всё попытаться перефразировать, то можно заметить наличие трёх случаев:
1) случай $0<\xi_k<\alpha<\beta<1$, для которого $\mu_k=\nu_k=1$;
2) случай $0<\alpha<\xi_k<\beta<1$, для которого $\mu_k=0$, а $\nu_k=1$;
3) случай $0<\alpha<\beta<\xi_k<1$, для которого $\mu_k=\nu_k=0$.

Всего проводится N экспериментов, и полученные в результате них $\mu_k$ суммируются, давая число m, а $\nu_k$ — число n. То есть:

$$\begin{matrix} m=\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\mu }_{k}}}, & n=\sum\limits_{k=1}^{N}{{{\nu }_{k}}} \\ \end{matrix}$$

Мой вопрос заключался в том, будут ли величины m и n независимыми для достаточно большого N. Ответ, очевидно, нет. Потому что они являются суммой зависимых величин. Или хотя бы потому что $m\le n$ из-за того, что число удачных экспериментов для большей пороговой величины $\beta$ во всяком случае не меньше. И это верно даже не смотря на то, что при $\beta-\alpha\sim 1$ и $N\gg 1$ вероятность события $m_1>n_2$ для двух независимых экспериментов мала.

Собственно, для меня это большое разочарование, так как из чисел N, m и n, полученных в одном эксперименте, планировалось получать новые величины и использовать их совместно как результаты двух независимых экспериментов. Я правильно понимаю, что это неправомерно?

[--mS--]

Правильно понимаете.

[B@R5uk]

Сейчас понял, что выбрал немного неудачные обозначения. Переобозначу.

Пусть $\eta$ и $\lambda$ — это случайные величины, определяемые равенствами

$$\begin{matrix}\eta=\sum\limits_{k=1}^{N}{\mu_k},&\lambda=\sum\limits_{k=1}^{N}{\nu_k}\\ \end{matrix}$$

А числа h и l — конкретные представители этих случайных величин, соответственно. Я так понимаю степень зависимости $\eta$ и $\lambda$ характеризуется корреляцией

$$\operatorname{Corr}\left( \eta ,\lambda \right)=\frac{\operatorname{E}\left( \eta \lambda \right)-\operatorname{E}\left( \eta \right)\operatorname{E}\left( \lambda \right)}{\sqrt{\operatorname{D}\left( \eta \right)\operatorname{D}\left( \lambda \right)}}$$

В связи с этим я пытаюсь понять, как посчитать вероятность $p\left( N,h,l \right)=P\left( \eta =h,\lambda =l \right)$. В каком направлении копать?

-- 25.01.2020, 21:58 --

Совместимыми значениями для чисел N, h и l являются такие, что удовлетворяют неравенству $0\le h\le l\le N$. То есть, если эти неравенства нарушаются, то $p\left(N,h,l\right)=0$. Неравенство $0<\xi_k<\alpha$ выполняется для любого k с вероятностью $p=\alpha^N$, то есть $p\left(N,N,N\right)=\alpha^N$. Аналогично можно получить $p\left(N,0,0\right)=\left(1-\beta\right)^N$. Простым так же является случай 2) одного субэксперимента: $p\left(1,0,1\right)=\beta-\alpha$, который не попадает под уже описанные формулы. Его можно продлить дальше: $p\left(N,0,N\right)=(\beta-\alpha)^N$. Что будет в других случаях мне пока не понятно. В принципе, распределение похоже на мультиномиальное, но таковым не является.

[B@R5uk]

Построил таблички для N равного 1, 2 и 3 и понял, что моё распределение таки является мультиномиальным, просто надо смотреть на него под правильным углом. Общая формула вероятности, если я нигде не ошибся, получается такая:

$$p\left(N,h,l\right)=\left\{\begin{array}{*{35}{l}}\frac{N!{{\alpha }^{h}}{{\left(\beta-\alpha\right)}^{l-h}}{{\left(1-\beta\right)}^{N-l}}}{h!\left(l-h\right)!\left(N-l\right)!},&0\le h\le l\le N\\0,&otherwise\\ \end{array} \right.$$

Теперь надо посчитать сумму:

$$\operatorname{E}\left(\eta\lambda\right)=\sum\limits_{l=0}^{N}{\sum\limits_{h=0}^{l}{hl\frac{N!{{\alpha}^{h}}{{\left(\beta-\alpha\right)}^{l-h}}{{\left(1-\beta\right)}^{N-l}}}{h!\left(l-h\right)!\left(N-l\right)!}}}$$