Вычисление мат. ожидания

[Optimizer of control]

Здравствуйте.
Подскажите пожалуйста идею решения следующей задачи.

Пусть X и Y имеют совместное нормальное распределение с плотностью вероятностей
$$p(x,y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}e^{(\frac{x^2-2\rho xy + y^2}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}})}, x,y \in \mathbb R.
Доказать, что $E(X^2) = 1.$

Пока что приходит только одна идея - найти плотность X, проинтегрировав p(x,y) по y, а потом найти $E(X^2)$ как $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2 p(x) dx.$
Но такие интегралы аналитически не взять.

[RIP]

Во-первых, что-то в Вашей формуле для плотности мне очень сильно не нравится. Во-вторых, по поводу

Optimizer of control писал(а):

Но такие интегралы аналитически не взять.

Неопределённые интегралы, действительно, не взять. Но определённые вполне себе считаются (с помощью гамма-функции $\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}dx$).

[Optimizer of control]

Мне вообще-то тоже не нравится формула для плотности(скорее всего аргумент экспоненты должен быть домножен на -1), но даже в этом случае надо проинтегрировать(для вычисления p(x)) не $e^{-x}$, а $e^{-x^2}$.

[RIP]

Optimizer of control писал(а):

...но даже в этом случае надо проинтегрировать(для вычисления p(x)) не $e^{-x}$, а $e^{-x^2}$.

А на этот случай есть такая замечательная штука как замена переменной.

[Optimizer of control]

Если сделать замену $y = x^2$, то получим $2 \int \frac{e^{-y}}{\sqrt{y}} dy$. И чем этот лучше исходного?

[RIP]

Optimizer of control писал(а):

Если сделать замену $y = x^2$, то получим $2 \int \frac{e^{-y}}{\sqrt{y}} dy$. И чем этот лучше исходного?

А тем, что $\int_0^\infty y^{-1/2}e^{-y}dy=\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$.

[Optimizer of control]

Изящно. Большое спасибо.
Однако, я сильно подзабыл гамма функции.

[Henrylee]

Похоже на нормальную плотность с нулевым мат. ожиданием. Можно еще так: Представить показатель экспоненты в виде

$$ -\frac12\overline{x}A\overline{x} $$

где $\overline{x}=(x,y)$, затем обратить матрицу $A$ (порлучим ковариационную). Искомое мат.лжидание от квадрата есть один из диагональных элементов.

[Optimizer of control]

Цитата:

Искомое мат.лжидание от квадрата есть один из диагональных элементов.

А где можно посмотреть док-во этого свойства?

Добавлено спустя 1 час 51 минуту 53 секунды:

Попробовал первый способ. Проинтегрировал и вручную и в maple, но все равно $E(X^2) \ne 1$. То что теперь сомневаюсь правильный ли был метод.
Метод:

$$ p(x) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x,y) dy $$ $$ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 p(x) dx $$

[RIP]

Метод правильный, просто формула для плотности скорее всего неверная. Попробуйте

$$p(x,y)=\frac1{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-\rho^2)}}.$$

[Henrylee]

Optimizer of control писал(а):

Цитата:

Искомое мат.лжидание от квадрата есть один из диагональных элементов.

А где можно посмотреть док-во этого свойства?

Ну это просто следует из определения коавриационной матрицы - диагональные элементы есть маргинальные дисперсии, недиагональные - соотв. ковариации компонент. Можете прочесть в любом учебнике, где написано про многомерное гауссовское распределение. Только сначала убедитесь, что у Вас на самом деле гауссовская плотность.