2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ряды
Сообщение18.01.2020, 15:31 


18/01/20
72
Читаю книгу Л.С. Понтрягина "Анализ бесконечно малых". Есть некоторое недопонимание.

Автор пишет про бесконечный ряд:
Цитата:
(1) $ z_1 + z_2 + \dots + z_n + \dots$, где $z \in \mathbb{R}$ или $z \in \mathbb{C}$

Далее автор рассматривает бесконечный ряд:
Цитата:
(2) $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$
и пишет, что если позволить оперировать с этой суммой как с обычной конечной, то по разному комбинируя её слагаемые мы получим сумму равную либо $0$ либо $1$.

То есть автор показывает, что сумма одно и того же ряда $(2)$ может быть разной в зависимости от того, как мы делаем расчет.

Первое замечание. Но разве это так? Ведь очевидно, что сумма ряда определена однозначно и зависит не от комбинации слагаемых предлагаемой в книге автором, а от того на каком месте мы прекратили суммирование. Если прекратили суммирование на слагаемом с чётным номером, то есть $(1 - 1)$, то получим нуль. Если на нечетном номере, то есть суммируем нечетное число членов ряда: $(1 - 1 + 1)$, то сумма всегда равна единице. Никакой неоднозначности и не ясности о которой говорит автор тут нет. Мы всегда знаем, можем точно определить чему равна сумма ряда $(2)$. Не понимаю, в чем проблема о которой заявляет автор?

Дальше автор пишет, что для точного описания суммы ряда $ (1) $ составляют предварительные конечные суммы:
Цитата:
(3) $ s_n = z_1 + z_2 + \dots + z_n$
Если при неограниченно возрастающем числе $n$ сумма $s_n$ стремится к определенному числу $s$, то считается, что ряд $(1)$ можно суммировать и сумма его равна $s$, то есть ряд сходящийся.

Второе замечание. Почему не может быть так, что после подсчета конечной суммы $(3)$ ряд сначала сходился. А потом, начиная с некоторого числа $n + 1$, начал расходится? Тогда по видимому сумма бесконечного ряда $(1)$ не будет определена.

Как пишет автор, в таких рядах также могут быть странности. Например, если в $(1)$ поменять местами некоторые слагаемые, то такой новый ряд будет сходиться, но может быть так, что сумма нового ряда не будет равна сумме первоначального ряда $(1)$.

Третье замечание. Выглядит контринтуитивно. Можно, пожалуйста, пример такого ряда.

Помогите мне, пожалуйста, разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 16:21 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
vadimm в сообщении #1435816 писал(а):
очевидно, что сумма ряда определена однозначно
... Если она вообще определена. Перечитайте определение суммы бесконечного ряда и попробуйте применить его к приведённому вами.
vadimm в сообщении #1435816 писал(а):
для точного описания
Ни для какого не описания. Это определение суммы. В отличие от конечных сумм, сумма бесконечного ряда может и не существовать.
vadimm в сообщении #1435816 писал(а):
Почему не может быть так, что после подсчета конечной суммы $(3)$ ряд сначала сходился
Эээ, простите, вам надо перечитать начиная с пределов вообще.
vadimm в сообщении #1435816 писал(а):
в таких рядах также могут быть странности
Не в таких рядах. Ряд из единиц не имеет суммы, и никаких таких странностей в нём нет. Такие странности присутствуют, например, в ряде $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n$, который — в исходном виде — сумму как раз таки имеет, но перестановки слагаемых могут приводить как к ряду с произвольной заданной суммой, так и к расходящемуся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 16:23 


02/05/19
396
vadimm в сообщении #1435816 писал(а):
Но разве это так? Ведь очевидно, что сумма ряда определена однозначно и зависит не от комбинации слагаемых предлагаемой в книге автором, а от того на каком месте мы прекратили суммирование.
Имеется в виду, что мы не прекращаем суммирование, а берём сумму всех членов последовательности. И здесь, наивно рассуждая, мы получим либо $0$, если будем брать сумму $(1-1)+(1-1)+ ....$, либо $1$, если будем применять операцию в другом порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 16:51 
Аватара пользователя


04/06/17
183
Попробуйте прочитать параграф "Начальные сведения о рядах" в Зориче. В шестом издании это 110-я страница. Несколько подобных примеров там как раз приведены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
На словах "прекратили суммирование" бейте себя книгой по голове. Не прекращали суммирование! Там больше членов, чем $100$. Больше, чем $1\,000\,000$. Больше, чем гугол. Любое число назовите - так вот, их там больше. Конца им нет. В этом смысл слова "бесконечность".

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 19:57 


18/01/20
72
ИСН в сообщении #1435837 писал(а):
Не прекращали суммирование! Там больше членов, чем $100$. Больше, чем $1\,000\,000$. Больше, чем гугол. Любое число назовите - так вот, их там больше. Конца им нет.
Это и так понятно.

Я о том, что сумма ряда $ (2)$ однозначна определена и равна нулю. И нет там никакой двусмысленности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это смотря как определять. Вы как определяете, например? На чётных номерах она 0, на нечётных - 1, а что будет после бесконечности и как вообще можно об этом судить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 22:34 


18/01/20
72
ИСН в сообщении #1435869 писал(а):
Это смотря как определять. Вы как определяете, например?
Очевидно же, что сумма первых четырех слагаемых этого ряда
Цитата:
$1 - 1 + 1 - 1 + \dots$
равна нулю и далее бесконечно продолжаем этот процесс (многоточие в записи). В итоге получаем нуль и ничего другого. А вот если бы ряд записывался как:
Цитата:
$1 - 1 + 1 - \dots$
тогда сумма равна $1$, но это уже другой бесконечный ряд. Не надо их путать. Первый всегда равен нулю, второй всегда единице. И всё!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 22:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vadimm в сообщении #1435879 писал(а):
тогда сумма равна $1$, но это уже другой бесконечный ряд.

А сколько в нем слагаемых?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 22:47 


18/01/20
72
Otta в сообщении #1435881 писал(а):
А сколько в нем слагаемых?
Континуум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 22:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vadimm
Прям таки континуум? :shock:
Не надо говорить слов, значения которых не знаете.
Лучше скажите "бесконечно много".
Я к чему - четвертое есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 23:01 


18/01/20
72
Otta в сообщении #1435885 писал(а):
Я к чему - четвертое есть?
Зачем сомнения? Я же к тому, что сумма именно такого бесконечного (тут сами решайте, если в нем четвертое, пятое, ... слагаемые) всегда равна единице. Если ряд записан таким вот образом. Чтобы получить неоднозначность, его тогда нужно перезаписать иначе, в других символах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 23:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
vadimm
Я не прошу Вас спрашивать меня. Я сама Вас спрашиваю.
В ряде, который у Вас во второй цитате - четвертое слагаемое есть или только три? Да или нет? Не надо лишнего писать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 23:25 


18/01/20
72
Otta в сообщении #1435890 писал(а):
Я не прошу Вас спрашивать меня. Я сама Вас спрашиваю.
Otta в сообщении #1435890 писал(а):
Не надо лишнего писать.
Это попахивает невежеством.

Otta в сообщении #1435890 писал(а):
Да или нет?
Такая постановка вопроса бессмысленна. Мы уже разобрались, что слагаемых бесконечно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение18.01.2020, 23:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 ! 
vadimm в сообщении #1435894 писал(а):
Это попахивает невежеством.
Да - вашим. Ответьте, пожалуйста, на заданный вопрос.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group