Счётность множества алгебраических чисел, Виленкин

[Nekrasov]

Не понимаю одного момента в доказательстве счётности алгебраических из книги Виленкина "Рассказы о множествах" (страницы 69-70):

Цитата:

..отметим сначала, что каждое число рассматриваемого вида является корнем алгебраического уравнения вида
$a_0x^n+a_1x^{n-1} +... + a_{n}=0$, (1)
где $a_0\neq0$ и $a_0, ..., a_n$ — целые числа. Например, $\frac{3}{7}$
корень уравнения $7x-3=0$,
$\sqrt[3]{5}$корень уравнения $x^3-5 =0$.
Сначала перенумеруем все целые числа (нулю и натуральным числам присвоим нечётные номера, а отрицательным — чётные).
Номер целого числа $a$ обозначим
через $\boldsymbol{a}$ [такая же буква в формуле, только жирная]. Каждому уравнению вида (1) поставим в соответствие число $2^{\boldsymbol{a_n}}\cdot3^{\boldsymbol{a_{n-1}}}...p_{n+1}^\boldsymbol{a_0}$[степени жирненькие]
(через $p_{n+1}$ здесь обозначено $(n + 1)$-е простое число). Например,
уравнению $3x^2-2 = 0$ ставим в соответствие номер $2^4\cdot3^1\cdot5^7=3750000$
(потому что целое число $-2$ имеет номер 4, $0$— номер 1, а целое число $3$ — номер 7). Теперь каждое уравнение получило свой номер,
причем разным уравнениям соответствуют разные номера (каждый
номер N единственным образом разлагается на простые множители,
то есть единственным образом задает числа $\boldsymbol{a_n, a_{n-1},..., a_0}$; этим же
числам соответствуют определенные целые числа $a_n, a_{n-1}, ..., a_0$,
а тем самым и определенное уравнение $a_0x^n+a_1x^{n-1} +... + a_{n}=0$)

Тогда какому уравнению соответствует N=1? Мне кажется, что никакому; может, я что-то не так понял? Автор и до этого сформулировал основную теорему арифметики соответствующим образом:

Цитата:

Читатель,конечно, помнит, что любое натуральное число единственным образом разлагается на простые множители.

не уточняя, что натуральное число должно быть больше единицы. Подскажите, пожалуйста.
UPD: Только что дошло, что $N=1$ может ничего не соответствовать, так как нумерация нужна, чтобы выписать корни, которые впоследствии будут пронумерованы, начиная с единицы.

[iifat]

На всякий сллучай добавлю.
Есть в теории множеств теорема, не вспомню название, о том, что если построены две инъективных функции, одна отображающая первое множество в подмножество другого, вторая — наоборот, второе множество в подмножество первого, то существует взаимно-однозначное отображение этих двух множеств.
Применительно к вопросу счётности, не обязательно нумеровать элементы проверяемого множества непременно с единицы и далее подряд. Достаточно доказать бесконечность и сопоставить каждому элементу некое (уникальное!) натуральное число. И необязательно, чтоб чему-то была сопоставлена единица, чему-то двойка и т.д., допускаются любые дыры в нумерации.

[Connector]

iifat в сообщении #1435797 писал(а):

Есть в теории множеств теорема

Её часто называют Теорема Кантора — Бернштейна.

[mihaild]

Nekrasov в сообщении #1435781 писал(а):

Тогда какому уравнению соответствует N=1?

Получается что пустому, у которого в левой части минус одно слагаемое. Логично считать, что у такого уравнения корней нет.
Но вообще действительно неаккуратно получилось.

Nekrasov в сообщении #1435781 писал(а):

не уточняя, что натуральное число должно быть больше единицы

Единица тоже единственным образом (с точностью до порядка) разлагается на простые множители: $1 = \prod\limits_{i \in \varnothing} i$.

iifat в сообщении #1435797 писал(а):

Есть в теории множеств теорема, не вспомню название

Теорема Кантора-Бернштейна.

[Nekrasov]

iifat в сообщении #1435797 писал(а):

Применительно к вопросу счётности, не обязательно нумеровать элементы проверяемого множества непременно с единицы и далее подряд. Достаточно доказать бесконечность и сопоставить каждому элементу некое (уникальное!) натуральное число. И необязательно, чтоб чему-то была сопоставлена единица, чему-то двойка и т.д., допускаются любые дыры в нумерации.

А потом множество уникальных чисел можно пронумеровать уже по порядку, таким образом будут пронумерованы и элементы исходного множества, верно? Спасибо за подсказку с теоремой, уже слышал про неё, теперь представляю, о чём она.

mihaild в сообщении #1435800 писал(а):

Nekrasov в сообщении #1435781 писал(а):

не уточняя, что натуральное число должно быть больше единицы

Единица тоже единственным образом (с точностью до порядка) разлагается на простые множители: $1 = \prod\limits_{i \in \varnothig} i$.

Прочитал про это сейчас, то есть единица это произведение пустого множества простых чисел, если принять, что произведение пустого множества чисел равно нулю.

Цитата:

Получается что пустому, у которого в левой части минус одно слагаемое

А как выглядит такое "пустое уравнение с минус одним слагаемым в левой части"? Может просто для $N=1$ уравнения не существует, так как множество простых чисел пустое, поэтому нет и коэффициентов уравнения?

[Nekrasov]

Nekrasov в сообщении #1435880 писал(а):

произведение пустого множества чисел равно нулю

Опечатка, единице, конечно