ЛинАл и АнГеом. Проекция вектора на направление

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Уважаемые помогите понять. В базисе $\vec{e}_1=\binom{1}{-2}, \vec{e}_2=\binom{2}{1}$ (не ОНБ) на плоскости, вектор $\vec{a}=\binom{1}{-4}$ задан своими координатами. Вектор $\vec{c}$ направлен по биссектрисе угла между $\vec{e}_1, \, \vec{e}_2$. Найти проекцию $\vec{a} $ на $\vec{c}$.

1. Правильно ли я понимаю первое предложение, что все эти вектора: $\vec{e}_1, \, \vec{e}_2, \,\vec{a} $ заданы в некотором базисе $(\vec{g}_1, \, \vec{g}_2)$ ? И чтобы найти координаты $\vec{a} =(\alpha, \,\beta)$ в базисе $(\vec{e}_1, \, \vec{e}_2) $ , нужно записать так: $\vec{a}=\alpha\cdot\vec{e}_1 + \beta\cdot\vec{e}_2$

$\binom{1}{-4}$ $= $ $ \alpha \cdot \binom{1}{-2}$ $+ $ $\beta \cdot \binom{2}{1}$ ? Или координаты $\vec{a} =\binom{1}{-4}$ заданы в базисе $(\vec{e}_1, \, \vec{e}_2) $ ? И для нахождения координат в базисе $(\vec{g}_1, \, \vec{g}_2)$ записать нужно так: $\binom{\alpha}{\beta}=1 \cdot\vec{e}_1 + (-4) \cdot\vec{e}_2$

$\binom{ \alpha}{\beta}$ $= $ $ 1 \cdot \binom{1}{-2}$ $+ $ $(-4) \cdot \binom{2}{1}$ ?

2. Дальше вроде понятно. Направляющий вектор биссектрисы можно найти как диагональ ромба, построенного на нормированных по длине $\vec{c}= \frac{\vec{e}_1}{\left\lvert\vec{e}_1\right\rvert} + \frac{\vec{e}_2}{\left\lvert\vec{e}_2\right\rvert }$ .

3. Проекцию $\vec{a} $ на $\vec{c} $ найдем: $Pr_c \,\vec{a} = \frac{(\vec{a}, \vec{c})}{\left\lvert\vec{c}\right\rvert}$ ?

Все ли верно?

[пианист]

Вроде правильно.
Только еще должна быть как-то матрица Грама задана; видимо, подразумевается, что исходный базис (Вы его обозначили $(\vec{g}_1, \vec{g}_2)$) ортонормированный.

-- Пн янв 13, 2020 13:25:30 --

А может, подразумевалось выражение через скалярные произведения, не до чисел, тогда матрица Грама не нужна.

[nnosipov]

Stensen в сообщении #1434842 писал(а):

1. Правильно ли я понимаю первое предложение ...

Здесь без поллитра контекста не разобраться. Само по себе предложение звучит издевательски --- как хочешь, так и понимай. Особенно во время экзаменационной сессии. Вы уверены, что правильно его записали?

[Stensen]

nnosipov в сообщении #1434860 писал(а):

Здесь без поллитра контекста не разобраться. Вы уверены, что правильно его записали?

Процитировал условие дословно. Т.е надо понимать, что некорректно поставленный вопрос в задаче?

[nnosipov]

Stensen в сообщении #1434862 писал(а):

Т.е надо понимать, что некорректно поставленный вопрос в задаче?

Условие задачи требует уточнения. А первоисточник указать можете?

[Walker_XXI]

Stensen в сообщении #1434842 писал(а):

В базисе $\vec{e}_1=\binom{1}{-2}, \vec{e}_2=\binom{2}{1}$ (не ОНБ) на плоскости, вектор $\vec{a}=\binom{1}{-4}$ задан своими координатами.

Извините, но как ещё можно понимать это предложение, как не то, что $1$ и $-4$ - это координаты вектора $\vec{a}$ в базисе $\left\lbrace\vec{e}_1, \vec{e}_2\right\rbrace$?? Другое дело, что в условиях не говорится, в каком базисе указаны координаты самих базисных векторов, в каком базисе нужно записать ответ, а также использованы одинаковые обозначения для координат в разных(?) базисах.

Если же подразумевалось, что координаты вектора $\vec{a}$ заданы в том же ОНБ (хотя из условий это прямо не следует), что и вектора нового базиса, то порядок условий должен быть иным.

Я думаю, ясности добавит информация об изучаемой теме, какие навыки должна тренировать эта задача.

[Stensen]

nnosipov в сообщении #1434865 писал(а):

Условие задачи требует уточнения. А первоисточник указать можете?

Это вопросы к экзамену за 1-й семестр в МИФИ

[nnosipov]

Stensen
Спасибо. Типичная неряшливость, характерная для методичек инженерных вузов. Нет иного выхода, как допросить с пристрастием этого лектора, что он там имел в виду конкретно.

[Munin]

nnosipov в сообщении #1434876 писал(а):

Нет иного выхода, как допросить с пристрастием этого лектора, что он там имел в виду конкретно.

Вряд ли лектор будет тратить время на каждого из сотен студентов.

В данном случае проще сделать задачу в двух вариантах.

Хотя я склоняюсь к мнению, что $\{1;-4\}$ - это координаты в базисе $(\vec{e}_1,\vec{e}_2).$ Просто неряшливо сформулировано. Но железобетонно полагаться на это не стоит.