Песок в песочных часах

[grizzly]

В одной из своих популярных лекций (она была посвящена вопросам измерения времени) Владимир Сурдин обратил внимание аудитории на то, что в цилиндрических песочных часах со шкалой (см. картинку) используется равномерная шкала -- следовательно, скорость просыпания песка не зависит от высоты столба.

В. Сурдин признался, что не знает хорошего объяснения этому факту, хотя интересовался. Это странно, я думаю, вопрос должен быть хорошо изучен хотя бы потому, что бункеры сыпучих материалов широко применяются в народном хозяйстве (и как я замечал, там действительно скорость высыпания не особо зависит от количества). Просьба поделиться в общих чертах знаниями / соображениями по теории этого процесса.

(Кстати, современные солнечные часы можно свободно распечатать 3D-принтером)

[wrest]

grizzly в сообщении #1434474 писал(а):

(Кстати, современные солнечные часы можно свободно распечатать 3D-принтером)

Ой, какая гениальная штучка, а ссылку дадите на описание?

[grizzly]

wrest в сообщении #1434476 писал(а):

а ссылку дадите на описание?

Не искал -- у меня принтера всё равно нет. Но сказали, что это в свободном доступе.

[Munin]

grizzly в сообщении #1434474 писал(а):

В. Сурдин признался, что не знает хорошего объяснения этому факту, хотя интересовался. Это странно, я думаю, вопрос должен быть хорошо изучен хотя бы потому, что бункеры сыпучих материалов широко применяются в народном хозяйстве (и как я замечал, там действительно скорость высыпания не особо зависит от количества). Просьба поделиться в общих чертах знаниями / соображениями по теории этого процесса.

Это одно из "тёмных мест" физики, так что вопрос изучен в лучшем случае эмпирически. Несмотря на огромное хозяйственное значение.

Как я понимаю, песчинки вдали от места высыпания опираются одна на другую, и образуют "каркас", в котором все песчинки неподвижны, а их вес распределяется и достигает стенок. Нечто похожее на каменную арку.

В месте высыпания часть песчинок выпадает из "каркаса" и просыпается вниз. Получается "осыпающаяся зона". Но из-за статистических свойств песка, эта "зона" всегда примерно одинакового размера, и сравнительно небольшая (на практике можно увидеть, что это $\lesssim 10$ диаметров песчинки). Именно процессы в этой "зоне" и управляют скоростью высыпания песка. За пределами этой "зоны" песок в основном неподвижен, иногда кратко сдвигается "осыпями". И снова застревает в статическом положении нового "каркаса".

Но это всё - только соображения.

Наверное, вопрос ещё ждёт своих математиков, аналогично проблеме перколяции.

[Pphantom]

Это не соображение о теории, скорее просто реплика "в сторону"...

В XVII веке этот эффект старательно проверяли. До появления хронометров точность измерения времени с помощью песочных часов была весьма интересна, поскольку таким образом можно было хоть как-то хранить время на морских судах (всякие "склянки" и т.п. связаны именно с этим процессом). Именно теория тогда никого не интересовала (да и, по-видимому, не могла быть построена), но калибровкой песочных часов занимались очень тщательно (как и водяных часов - клепсидр - для которых результаты оказались совершенно другими и в подобном контексте неудовлетворительными).

Ну а после изобретения хронометров в первой половине XVIII века вопрос перестал кого-либо интересовать, песочные часы вышли из обращения там, где требовалась хоть какая-нибудь точность.

[Munin]

Плюс подозреваю, что тут играет роль куча переменных: размер гранул, их форма, разброс размера, качество поверхности, вещество гранул, наличие смазки или загрязнений, влажность воздуха, электризация, вибрация, бог знает что ещё. Так что сахар, соль, зерно, мука, щебень, снег, конфеты - могут сыпаться совершенно по-разному, хорошо если не в десятках разных режимов.

[druggist]

"Модель песчаной кучи (sandpile model)"

[Booker48]

wrest в сообщении #1434476 писал(а):

grizzly в сообщении #1434474 писал(а):

(Кстати, современные солнечные часы можно свободно распечатать 3D-принтером)

Ой, какая гениальная штучка, а ссылку дадите на описание?

Вот она.

[statistonline]

Munin в сообщении #1434482 писал(а):

Плюс подозреваю, что тут играет роль куча переменных: размер гранул, их форма, разброс размера, качество поверхности, вещество гранул, наличие смазки или загрязнений, влажность воздуха, электризация, вибрация, бог знает что ещё. Так что сахар, соль, зерно, мука, щебень, снег, конфеты - могут сыпаться совершенно по-разному, хорошо если не в десятках разных режимов.

Не куча, конечно, но много. В первую очередь - фракционный состав сыпучего вещества и геометрия бункера. Да, действительно, сыпучее вещество над отверстием сходит в него первым, остальной материал зависает в углах бункера. Но если углы бункера закруглить, выпускное отверстие закруглить, в центре, над отверстием, поставить отражающий конус, то материал будет сходить более-менее равномерно. Далее, первыми ссыпаются всегда более мелкие частицы, более крупные предпочитают отсиживаться до последнего. Возникает довольно дрянное явление сегрегации, которое сильно портит составы смесей, если, допустим, из нескольких бункеров в смесь ссыпаются несколько веществ, и требования к фракционному составу жесткие. Влажность и прочие параметры - не так важны, как эти два.

[dust]

ИМХО: при большой высоте столба нижний слой песка испытывает повышенное давление, но и трение между песчинками пропорционально увеличивается, и эти эффекты компенсируют друг-друга.

[MajorUrsus]

dust в сообщении #1435150 писал(а):

ИМХО: при большой высоте столба нижний слой песка испытывает повышенное давление, но и трение между песчинками пропорционально увеличивается, и эти эффекты компенсируют друг-друга.

Munin в сообщении #1434479 писал(а):

Как я понимаю, песчинки вдали от места высыпания опираются одна на другую, и образуют "каркас", в котором все песчинки неподвижны, а их вес распределяется и достигает стенок. Нечто похожее на каменную арку.

В том то и суть: Munin верно отметил: песчинки верхних слоев опираются на стенки (за счет трения), поэтому "давление" в самом низу не зависит от высоты столба песка.
Чисто интуитивно представляется, что длина переходной зоны составляет порядка $d/k$, где d-диаметр сосуда (бункера, трубки песчаных часов), k-коэффициент трения песчинок о стенки сосуда.
Интересную статью про поведение сыпучих материалов в бункерах я еще в молодости читал в старой ("сталинской") большой советской энциклопедии. Там же обсуждается вопрос о предельном угле наклона кучи сыпучего материала и почему у круглой кучи этот угол уменьшается при приближении к вершине кучи. Но найти ссылку на эту статью не могу.

[druggist]

MajorUrsus в сообщении #1435942 писал(а):

Интересную статью про поведение сыпучих материалов в бункерах я еще в молодости читал в старой ("сталинской") большой советской энциклопедии. Там же обсуждается вопрос о предельном угле наклона кучи

Это уже лет 30 как архетипический пример самоорганизованной критичности, смысл в том, что при постоянном насыпании (и осыпании) кучи угол при вершине остается в среднем постоянным. Вот текст, хотя и не сталинский, но довольно свежий:
https://www.mccme.ru/dubna/2017/notes/kalinin-notes.pdf

[stalvoron]

Сталкивался с задачами,связанными с выгрузкой сыпучих материалов из разгрузочных отверстий бункеров и при их решении пользовался публикациями, которые рассматривали процесс истечения , основываясь как на математических так и на эмпирических инструментах. Вопросы динамики истечения довольно таки исследовались в различных справочных пособиях по проектированию бункеров сыпучих (с учётом различных факторов: материал, гранулометрия, влажность, материал стенок , форма частиц геометрия сечения "окна" и т. п.).
Наличие эмпирического компонента ( авторы как правило предлагают формулы и коэффициенты, полученные на основании собственных исследований и собственного инструментария) обуславливает разность получаемых результатов (правда малосущественную в промышленных масштабах).

Песочные часы - суть тот же процесс, с учётом разве что "взаимозамкнутости" бункеров.
По мне, так равномерность градуировки в песочных часах вполне допустима в соответствие требованиями к точности в конкретном случае эксплуатации.

[wrest]

grizzly в сообщении #1434474 писал(а):

(Кстати, современные солнечные часы можно свободно распечатать 3D-принтером)

Не прошло и двух лет как я распечатал такие часы (вернее, мне распечатали, у меня принтера нет) :)

[semikolenov]

Равномерное течение жидкости.
Задача решённая.
Аналогия - идентичная!
http://www.librosmaravillosos.com/fisic ... es/060.jpg
(Подсказка: если песочные часы будут иметь открытость вверху и снизу для воздуха - равномерности не получим ! )