Calculating integrals

[ins-]

thank you for the clever substitution.

[antbez]

3.
$\int \frac {(cos x+xsin x)dx} {(x+cos x)^2}=\int \frac {dx} {x+ cos x}+\int \frac {(x sin x-x)dx}{(x+cos x)^2}=\int \frac {dx} {x+ \cos x}- \int \frac {x d(x+ cos x)}{(x+cos x)^2}=\int \frac {dx} {x+ \cos x}+\frac {x}{x+ cos x}-\int \frac{dx}{x+cos x}=\frac {x}{x+ cos x}$

[ins-]

Very beautiful.

[ins-]

Calculate: $\int \frac{x^7+1}{cos^2x} dx$

[AndreyXYZ]

$$\int\frac{x^7+1}{\cos^2x}\,dx=\tg x+x^7\tg x-7\int x^6\tg x\,dx$$

Try to expand $\tg x$ into Taylor series.
By the way, what is $\int \tg x\,dx$?

[ins-]

AndreyXYZ писал(а):

By the way, what is $\int \tg x\,dx$?

If I'm not wrong it is: -ln(cosx) + C

[ins-]

I'm wondering why the topic is moved. The integral was given at 2000 Students Math Olympiad in Bulgaria.

[ShMaxG]

\[ \int {x^6 \tan xdx} = \frac{1} {7}x^7 \tan x - \frac{1} {7}\int {\frac{{x^7 }} {{1 + x^2 }}dx} \]

.

\[ \frac{{x^7 }} {{1 + x^2 }} = x^5 - x^3 + x - \frac{x} {{1 + x^2 }} \]

. Ничего олимпиадного.

[Алексей К.]

ShMaxG писал(а):

\[ \int {x^6 \tan xdx} = \frac{1} {7}x^7 \tan x - \frac{1} {7}\int {\frac{{x^7 }} {{1 + x^2 }}dx} \]

.

Вы не правы, --- $(\tg x)'$ не таков. С арктангенсом спутали?

[ShMaxG]

Алексей К.
да, прошу прощения

[ins-]

It is stupid but I cannot solve this integral ... it seems to be very easy but in only seems.

[ewert]

Ну не берётся этот интеграл (в элементарных функциях), не берётся. Чего уж тут поделаешь.

[ins-]

How it can be proved the integral is not expressible in elementary functions?
If it cannot be calculated in elementary functions ... the integral is with wrong condition in my magazine.

[Brukvalub]

ins- в сообщении #181562 писал(а):

How it can be proved the integral is not expressible in elementary functions?

Сейчас это модно доказывать так: интеграл прогоняют через пару-тройку пакетов символьных вычислений, если пакетики буксуют, то интеграл, по определению, считается не берущимся в элементарных функциях.

[Taras]

...и только сильные духом читают что-то типа статьи " Почему интеграл не берется" из http://www.math.spbu.ru/user/analysis/f-doska/index.html и доказывают ручками, но лучше уже пакетом