2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение26.10.2020, 10:27 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1489156 писал(а):
И аналогичная задача про выражение $y^2z^2+y^2+z^2-k$, где $k \equiv 2 \pmod{8}$ --- натуральное число. Например, при $k=6666$ указанное выражение не может давать точный квадрат ни при каких натуральных $y$, $z$.
Тут мне кажется другое условие на параметра $k$: Если он не представим ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов.
Данное выражение является дискриминантом квадратных уравнений

$x^2\pm 2yzx-y^2-z^2+k=0$, где опять же спуск можно организовать по всем трем переменным...Пока одна из них не станет равным нулю
(гипотеза конечно, для конкретных $k$ можно свести к конечному перебору, а так...)
$6666$ не представимо в виде суммы двух квадратов (и разности конечно), так что для него решений не будет, но для многих $k\equiv 2 \pmod 8$ будут решения ($x_0=0$, включая $k=2,k=10\cdots$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение26.10.2020, 13:37 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1489176 писал(а):
Тут мне кажется другое условие на параметра $k$: Если он не представим ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов.
То, что другое, это правда. Но, боюсь, непредставимости $k$ в виде суммы двух квадратов маловато будет: $k=42$ не представляется суммой двух квадратов, однако выражение $y^2z^2+y^2+z^2-42$ вполне может давать квадраты (например, при $y=1$, $z=5$).

Кстати, наименьшее натуральное $k \equiv 2 \pmod{8}$, для которого выражение $y^2z^2+y^2+z^2-k$ не дает ни одного квадрата, равно $66$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 12:30 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1489199 писал(а):
То, что другое, это правда. Но, боюсь, непредставимости $k$ в виде суммы двух квадратов маловато будет: $k=42$ не представляется суммой двух квадратов, однако выражение $y^2z^2+y^2+z^2-42$ вполне может давать квадраты (например, при $y=1$, $z=5$).
Да, недолго гипотеза продержалась. Тогда у меня такая оценка вышла: Если $k$ непредставимо в виде суммы или разности двух квадратов и решения существуют, то существует решение при $2y^3+y^2<k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 14:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1489363 писал(а):
Если $k$ непредставимо в виде суммы или разности двух квадратов и решения существуют, то существует решение при $2y^3+y^2<k$
Это уже интересно. Но во что выльется проверка этого условия? Нужно перебрать порядка $k^{1/3}$ значений $y$, для каждого из которых потребуется выяснить, будет ли разрешимым уравнение $x^2=y^2z^2+y^2+z^2-k$ в целых числах $x$, $z$.

У меня условие выглядит так: $y^2+z^2 \leqslant k$ (т.е. если нет таких пар $(y,z)$ натуральных чисел, для которых число $y^2z^2+y^2+z^2-k$ было бы точным квадратом, то и вообще нет). Далее я не стал упрощать/улучшать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 16:00 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1489388 писал(а):
У меня условие выглядит так: $y^2+z^2 \leqslant k$
Моя оценка на самом деле, при $z\ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}$

и выглядит она чуть лучше, чем $z^2<k-y^2$, но это мелочи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 16:24 


30/09/20
78
С помощью условия
nnosipov в сообщении #1489131 писал(а):
Из решения 12d3 следует, что таким условием может быть следующее: для любой пары $(y,z)$ натуральных чисел, удовлетворяющей неравенствам $y \leqslant z<\sqrt{y^2+k}$, число $y^2z^2+y^2+z^2+k$ не является точным квадратом.

нашел те $k\equiv 6 \pmod 8$, которые дают неразрешимое уравнение. Для каждого из них выписал соответствующее $(k-6)/8$ и составил таким образом список под катом. В принципе, он не длинный, можно мышкой выделить донизу и скопировать к себе в блокнот. Там, как и положено, присутствует милое моему сердцу число $277,$ которое соответствует оригинальной задаче с $k=2222.$

(Оффтоп)

    1
    4
    10
    11
    13
    16
    19
    26
    31
    36
    41
    46
    49
    55
    61
    64
    66
    67
    76
    91
    94
    97
    101
    106
    109
    116
    118
    121
    124
    130
    136
    141
    145
    151
    154
    160
    161
    166
    171
    181
    184
    186
    199
    202
    226
    235
    236
    241
    244
    251
    256
    259
    264
    265
    271
    277
    281
    286
    291
    296
    301
    310
    316
    319
    326
    329
    331
    334
    336
    341
    351
    356
    361
    364
    366
    370
    376
    379
    391
    394
    406
    415
    416
    421
    424
    426
    429
    445
    446
    451
    466
    472
    481
    491
    496
    499
    501
    511
    514
    517
    524
    526
    529
    531
    536
    541
    544
    551
    556
    559
    561
    566
    571
    576
    577
    580
    586
    589
    601
    611
    616
    619
    622
    625
    626
    631
    634
    641
    649
    655
    661
    664
    676
    691
    694
    706
    711
    719
    721
    726
    730
    736
    741
    748
    751
    766
    769
    771
    775
    781
    784
    786
    790
    791
    797
    801
    811
    816
    820
    826
    832
    836
    850
    851
    853
    856
    874
    886
    901
    906
    907
    911
    916
    919
    921
    926
    931
    934
    941
    946
    949
    951
    956
    961
    979
    991
    1001
    1006
    1016
    1031
    1051
    1054
    1061
    1063
    1066
    1069
    1081
    1084
    1094
    1096
    1109
    1116
    1126
    1129
    1130
    1135
    1136
    1138
    1141
    1144
    1150
    1161
    1171
    1174
    1180
    1181
    1186
    1201
    1207
    1211
    1216
    1219
    1226
    1231
    1236
    1243
    1246
    1250

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 16:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow
Что-то не сходится с моими результатами. Не могли бы Вы дать список значений $k<1000$, которые удовлетворяют Вашему условию? Возможно, я неправильно запрограммировал, но у меня в Ваш список попадают лишние значения $k$ (например, то же $k=42$).

-- Вт окт 27, 2020 20:36:36 --

Verkhovtsev
Да, это он и есть (полностью не проверял, но частично проверил --- совпадает с моим). Но мой список получен из немного других соображений.

-- Вт окт 27, 2020 20:45:40 --

Verkhovtsev в сообщении #1489405 писал(а):
присутствует милое моему сердцу число $277,$ которое соответствует оригинальной задаче с $k=2222$
Кстати, эта задача была опубликована в следующем виде (см. Amer. Math. Monthly, V. 127, no. 7, p. 659):

12197. Prove that the equation $$(a^2+1)(b^2-1)=c^2+3333$$ has no solutions in integers $a$, $b$, and $c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение27.10.2020, 18:51 


26/08/11
2057
nnosipov в сообщении #1489406 писал(а):
Ваш список попадают лишние значения $k$ (например, то же $k=42$).
Я опять сильно извиняюсь. У меня при рассмотрении вариантов для возможных корней вышло:

При $x \ge z \ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$


При $z \ge x \ge y$

$x^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$

(сравниваются меньшие переменные)

В обеих случах верна оценка $2y^3+y^2 \le k$, но когда писал второе сообщение, второй случай вылетел из головы. $k=42$ именно второй

$x=2,y=1,z=5$

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение28.10.2020, 19:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shadow в сообщении #1489450 писал(а):
При $x \ge z \ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$


При $z \ge x \ge y$

$x^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$
Запрограммировал и это. Для $k \leqslant 100$ получаем $\{2, 10, 26, 34, 58, 66, 82\}$. Здесь все лишнее, кроме $k=66$. В пределах первой тысячи правильный список искомых значений $k$ таков: $\{66,186,266,322,682,786,826,946\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разрешимо ли в целых числах?
Сообщение29.10.2020, 05:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
И еще одно замечание: ограничить, скажем, $y$ существенно ниже, чем $k^{1/2}$, не получается: эксперименты показывают, что остается много лишнего.

Upd. Более точно, если потребовать, например, чтобы уравнение $x^2=y^2z^2+y^2+z^2-k$ было неразрешимым для всех натуральных $y<k^{1/3}$, то отсюда вовсе не будет вытекать неразрешимость этого уравнения при всех возможных значениях переменных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group