Разрешимо ли в целых числах?

Shadow · 26/08/11 2100

nnosipov в сообщении #1489156 писал(а):

И аналогичная задача про выражение $y^2z^2+y^2+z^2-k$ , где $k \equiv 2 \pmod{8}$ --- натуральное число. Например, при $k=6666$ указанное выражение не может давать точный квадрат ни при каких натуральных $y$ , $z$ .

Тут мне кажется другое условие на параметра $k$ : Если он не представим ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов.
Данное выражение является дискриминантом квадратных уравнений

$x^2\pm 2yzx-y^2-z^2+k=0$ , где опять же спуск можно организовать по всем трем переменным...Пока одна из них не станет равным нулю
(гипотеза конечно, для конкретных $k$ можно свести к конечному перебору, а так...)
$6666$ не представимо в виде суммы двух квадратов (и разности конечно), так что для него решений не будет, но для многих $k\equiv 2 \pmod 8$ будут решения ( $x_0=0$ , включая $k=2,k=10\cdots$ )

nnosipov · 20/12/10 9061

Shadow в сообщении #1489176 писал(а):

Тут мне кажется другое условие на параметра $k$ : Если он не представим ни в виде суммы, ни в виде разности двух квадратов.

То, что другое, это правда. Но, боюсь, непредставимости $k$ в виде суммы двух квадратов маловато будет: $k=42$ не представляется суммой двух квадратов, однако выражение $y^2z^2+y^2+z^2-42$ вполне может давать квадраты (например, при $y=1$ , $z=5$ ).

Кстати, наименьшее натуральное $k \equiv 2 \pmod{8}$ , для которого выражение $y^2z^2+y^2+z^2-k$ не дает ни одного квадрата, равно $66$ .

Shadow · 26/08/11 2100

nnosipov в сообщении #1489199 писал(а):

То, что другое, это правда. Но, боюсь, непредставимости $k$ в виде суммы двух квадратов маловато будет: $k=42$ не представляется суммой двух квадратов, однако выражение $y^2z^2+y^2+z^2-42$ вполне может давать квадраты (например, при $y=1$ , $z=5$ ).

Да, недолго гипотеза продержалась. Тогда у меня такая оценка вышла: Если $k$ непредставимо в виде суммы или разности двух квадратов и решения существуют, то существует решение при $2y^3+y^2<k$

nnosipov · 20/12/10 9061

Shadow в сообщении #1489363 писал(а):

Если $k$ непредставимо в виде суммы или разности двух квадратов и решения существуют, то существует решение при $2y^3+y^2<k$

Это уже интересно. Но во что выльется проверка этого условия? Нужно перебрать порядка $k^{1/3}$ значений $y$ , для каждого из которых потребуется выяснить, будет ли разрешимым уравнение $x^2=y^2z^2+y^2+z^2-k$ в целых числах $x$ , $z$ .

У меня условие выглядит так: $y^2+z^2 \leqslant k$ (т.е. если нет таких пар $(y,z)$ натуральных чисел, для которых число $y^2z^2+y^2+z^2-k$ было бы точным квадратом, то и вообще нет). Далее я не стал упрощать/улучшать.

Shadow · 26/08/11 2100

nnosipov в сообщении #1489388 писал(а):

У меня условие выглядит так: $y^2+z^2 \leqslant k$

Моя оценка на самом деле, при $z\ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}$

и выглядит она чуть лучше, чем $z^2<k-y^2$ , но это мелочи.

Verkhovtsev · 30/09/20 78

С помощью условия

nnosipov в сообщении #1489131 писал(а):

Из решения 12d3 следует, что таким условием может быть следующее: для любой пары $(y,z)$ натуральных чисел, удовлетворяющей неравенствам $y \leqslant z<\sqrt{y^2+k}$ , число $y^2z^2+y^2+z^2+k$ не является точным квадратом.

нашел те $k\equiv 6 \pmod 8$ , которые дают неразрешимое уравнение. Для каждого из них выписал соответствующее $(k-6)/8$ и составил таким образом список под катом. В принципе, он не длинный, можно мышкой выделить донизу и скопировать к себе в блокнот. Там, как и положено, присутствует милое моему сердцу число $277,$ которое соответствует оригинальной задаче с $k=2222.$

(Оффтоп)

nnosipov · 20/12/10 9061

Shadow
Что-то не сходится с моими результатами. Не могли бы Вы дать список значений $k<1000$ , которые удовлетворяют Вашему условию? Возможно, я неправильно запрограммировал, но у меня в Ваш список попадают лишние значения $k$ (например, то же $k=42$ ).

-- Вт окт 27, 2020 20:36:36 --

Verkhovtsev
Да, это он и есть (полностью не проверял, но частично проверил --- совпадает с моим). Но мой список получен из немного других соображений.

-- Вт окт 27, 2020 20:45:40 --

Verkhovtsev в сообщении #1489405 писал(а):

присутствует милое моему сердцу число $277,$ которое соответствует оригинальной задаче с $k=2222$

Кстати, эта задача была опубликована в следующем виде (см. Amer. Math. Monthly, V. 127, no. 7, p. 659):

12197. Prove that the equation $$(a^2+1)(b^2-1)=c^2+3333$$

has no solutions in integers $a$ , $b$ , and $c$ .

Shadow · 26/08/11 2100

nnosipov в сообщении #1489406 писал(а):

Ваш список попадают лишние значения $k$ (например, то же $k=42$ ).

Я опять сильно извиняюсь. У меня при рассмотрении вариантов для возможных корней вышло:

При $x \ge z \ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$

При $z \ge x \ge y$

$x^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$

(сравниваются меньшие переменные)

В обеих случах верна оценка $2y^3+y^2 \le k$ , но когда писал второе сообщение, второй случай вылетел из головы. $k=42$ именно второй

$x=2,y=1,z=5$

nnosipov · 20/12/10 9061

Shadow в сообщении #1489450 писал(а):

При $x \ge z \ge y$

$z^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$

При $z \ge x \ge y$

$x^2\le \dfrac{k-y^2}{2y}\ge y^2$

Запрограммировал и это. Для $k \leqslant 100$ получаем $\{2, 10, 26, 34, 58, 66, 82\}$ . Здесь все лишнее, кроме $k=66$ . В пределах первой тысячи правильный список искомых значений $k$ таков: $\{66,186,266,322,682,786,826,946\}$ .

nnosipov · 20/12/10 9061

И еще одно замечание: ограничить, скажем, $y$ существенно ниже, чем $k^{1/2}$ , не получается: эксперименты показывают, что остается много лишнего.

Upd. Более точно, если потребовать, например, чтобы уравнение $x^2=y^2z^2+y^2+z^2-k$ было неразрешимым для всех натуральных $y<k^{1/3}$ , то отсюда вовсе не будет вытекать неразрешимость этого уравнения при всех возможных значениях переменных.

Научный форум dxdy

Разрешимо ли в целых числах?

Кто сейчас на конференции