Резонанс в двухуровневой системе

[madschumacher]

Добрый день, вновь извиняюсь за беспокойство, но никак не пойму где туплю.

Простая задача: переходы в двухуровневой системе ($|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle$, разница энергий $\hbar \omega$) под действием внешнего возмущения, заданного функцией $ \cos(\omega t) f(t)$.
Уравнение Шрёдингера в этом случае записывается как
$ \left\{ \begin{array}{rcl} \dot{c}_0&=& i \frac{\Omega}{2} f(t) c_1 \\ \dot{c}_1&=& i \frac{\Omega}{2} f(t) c_1 \\ \end{array} \right. $
где $c_0, c_1$ -- коэффициенты состояний в представлении волновой функции $|\psi\rangle = c_0 |0\rangle + c_1 \exp(-i\omega t) |1\rangle$
Это можно переписать как $\dot{\mathbf{c}} = \mathcal{W} \mathbf{c}$, где $\mathbf{c} = (c_0, c_1)^\dagger $, а $ \mathcal{W}(t) = \begin{pmatrix} 0 & i \frac{\Omega}{2} f(t) \\ i \frac{\Omega}{2} f(t) & 0 \end{pmatrix}$
Решением этой системы оказывается
$\mathbf{c}(t) = \exp( \int_{-\infty}^{t} \mathcal{W}(t')dt' ) \mathbf{c}_{-\infty}$
Экспонента этой матрицы вычисляется легко $\exp\left(\begin{pmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} \cosh(a) & \sinh(a) \\ \sinh(a) & \cosh(a) \end{pmatrix}$
В итоге матрица унитарной эволюции (с учётом $\cosh(ix) = \cos(x)$ и $\sinh(ix) = \sin(x)$)
получается
$ \exp( \int_{-\infty}^{t} \mathcal{W}(t')dt' ) = \begin{pmatrix} \cos(\Omega F(t)/2) & \sin(\Omega F(t)/2) \\ \sin(\Omega F(t)/2) & \cos(\Omega F(t)/2) \end{pmatrix} $
где $F(t) = \int_{-\infty}^t f(t')dt'$, очевидно неунитарной. Где я потерял минус, помогите пожалуйста?

[madschumacher]

Нашёл ошибку:
$\sinh(ix) = i \sin(x)$.

[Munin]

Кстати, при некоторой familiarity можно для компактности выкладок писать такие матрицы в одну строчку: $\sigma_1=\left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right),$ $\exp(i(\mathbf{n}\pmb{\sigma})a)=\cos a+i(\mathbf{n}\pmb{\sigma})\sin a.$
В зависимости от familiarity, количество ошибок может как увеличиться, так и уменьшиться. Но вообще освоиться с этими значками полезно.

[arseniiv]

Вообще если $a$ — элемент алгебры, в которой есть смысл говорить об экспоненте, притом $a^2 \in \{\pm1, 0\}$, то

$$\exp at = \begin{cases} \ch t + a\sh t, & \text{если } a^2 = +1; \\ \cos t + a\sin t, & \text{если } a^2 = -1; \\ 1 + at, & \text{если } a^2 = 0 \end{cases}$$

для скаляра $t$. (Это можно считать обобщением формулы Эйлера для $\mathbb C$.)

[Утундрий]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1433685 писал(а):

Это можно считать обобщением формулы Эйлера для $\mathbb C$

Я бы назвал это "обобщением ряда Тейлора"...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну сам-то ряд Тейлора, даже конкретно экспоненты, не обобщается и не появляется в формуле.

[Munin]

arseniiv
Будьте добры ещё для $a$ - произвольной эрмитовой или антиэрмитовой матрицы.

[arseniiv]

Начал обобщать и чуть не уткнулся в хитрости спектральной теоремы во всей красе. Хотел C*-алгебру, но не знаю, можно ли выразить компактность как-то алгебраически. Ниже — просто выраженная маленькими инвариантными буквами формула экспоненты диагональной матрицы.

Рассматриваем компактные операторы на гильбертовом пространстве. Если оператор $a$ нормальный, т. е. $a a^* = a^* a$ (частные случаи: (анти)эрмитовый, унитарный), то спектральная теорема утверждает, что есть (возможно, конечная) последовательность ортогональных проекторов $p_i$ ($p_i = p_i^2 = p_i^*$) таких, что $p_i p_j = 0$ при $i\ne j$ и $\sum_i p_i = 1$, и той же длины последовательность скаляров $\lambda_i$, и верно $a = \sum_i \lambda_i p_i$. Примем $\exp \lambda p = (1-p) + e^\lambda p$, получим

$$\exp a = \sum_i e^{\lambda_i} p_i.$$

Ничего лучше ожидать не стоит: что $\lambda_i$ все вещественные, что мнимые, что с единичным модулем — толку мало, не свернётся. Хороший случай квадрата-скаляра постом выше (кроме нулевого квадрата ненулевого оператора, сюда не влезающего) — редкая удача.

Так что я немного разочарован вопросом — неужели же вы не подозревали, что ничего удовлетворительно скромно выглядящего в такой общности (одних эрмитовых сколько разных можно найти!) не получится?