2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение02.01.2020, 15:07 
Помогите доказать неравенство:
$\frac{1}{1+x_1}+\dots+\frac{1}{1+x_n}\geqslant\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}, x_i\geqslant1, n\geqslant2$

Я сначала думал, что все просто. Преобразовываем в вид:

$1+\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\geqslant\frac{n}{\frac{1}{1+x_1}+\dots+\frac{1}{1+x_n}}$

Справа - среднее гармоническое. Меняем его на большее - на среднее арифметическое. Получаем:

$\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\geqslant\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$

что неверно. Просто среднее арифметическое оказалось намного больше среднего гармонического, чем нам нужно. Прочие аналогичные попытки тоже ни к чему не привели.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.01.2020, 15:10 
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение02.01.2020, 17:49 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение02.01.2020, 18:43 
Аватара пользователя
Я с иксами как-то не очень, мне проще с матожиданиями. Пусть $\mathsf P(X=x_i)=\frac1n$, $i=1,\ldots,n$.
Тогда
$$
\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+x_1}+\ldots+\frac{1}{1+x_n}\right)=\mathsf E \frac{1}{1+X} = \mathsf E \frac{1}{1+e^{\ln X}} \geq  \frac{1}{1+e^{\mathsf E \ln X}} = 
$$
$$
=\frac{1}{1+e^{\frac1n(\ln x_1+\ldots+\ln x_n)}} = \frac{1}{1+\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}}.
$$
Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение02.01.2020, 19:39 
--mS-- в сообщении #1433124 писал(а):
Я с иксами как-то не очень, мне проще с матожиданиями. Пусть $\mathsf P(X=x_i)=\frac1n$, $i=1,\ldots,n$.
Тогда
$$
\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+x_1}+\ldots+\frac{1}{1+x_n}\right)=\mathsf E \frac{1}{1+X} = \mathsf E \frac{1}{1+e^{\ln X}} \geq  \frac{1}{1+e^{\mathsf E \ln X}} = 
$$
$$
=\frac{1}{1+e^{\frac1n(\ln x_1+\ldots+\ln x_n)}} = \frac{1}{1+\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}}.
$$
Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.


Спасибо!

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение02.01.2020, 21:05 
Аватара пользователя
--mS--
А где в вашем решении что икс не меньше единицы?

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение02.01.2020, 23:15 
Sicker в сообщении #1433144 писал(а):
А где в вашем решении что икс не меньше единицы?

--mS-- в сообщении #1433124 писал(а):
Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение03.01.2020, 11:28 
Аватара пользователя
--mS--
Otta
А, понятно :) Т.е. нам все равно надо догадаться, что эта функция выпукла.
Я сам решал через метод множителей Лагранжа, и у меня вышло еще ослабленное условие - только корень в правой части должен быть больше или равен единице, а икс больше или равен нулю

-- 03.01.2020, 12:06 --

Otta
--mS--
Я короче обобщил на случай смещения общего вида $x+\alpha$, тогда $x \geq \alpha^2$

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение05.01.2020, 16:08 
Sicker в сообщении #1433205 писал(а):
Я короче обобщил на случай смещения общего вида $x+\alpha$, тогда $x \geq \alpha^2$
в случае смещения общего вида должно выполняться:
$\frac{1}{a+x_1}+\frac{1}{a+x_2} \ge \frac{2}{a+\sqrt{x_1x_2}}$
умножая это на ${a} >0$ и обозначая $\frac{x_i}{a}=y_i$ получаем уже известное
$\frac{1}{1+y_1}+\frac{1}{1+y_2} \ge \frac{2}{1+\sqrt{y_1y_2}}$
которое выполняется при $y_i\ge1$
Так что $x \geq \alpha$ а не $x \geq \alpha^2$

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение05.01.2020, 23:25 
Аватара пользователя
deep blue
Ой, я у себя забыл квадрат учесть :facepalm:
Теперь ответ сошелся с вашим :-)

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение08.01.2020, 13:52 
Аватара пользователя
deep blue
А что насчет моего ослабленного условия? :roll:

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение10.01.2020, 18:29 
Sicker в сообщении #1433205 писал(а):
ослабленное условие - только корень в правой части должен быть больше или равен единице, а икс больше или равен нулю

Это условие недостаточно, как было показано в одном из обсуждений на форуме. Там приведен пример, при $n=3, x_1=x_2=N,x_3=\frac 1{N^2}.$
Тогда левая часть равна $\frac 2{1+N}+\frac 1{1+\frac 1{N^2}}$ и стремится к 1 с ростом $N$, а правая часть равна $\frac 32$.

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение10.01.2020, 19:52 
Аватара пользователя
mihiv
Хм, точно, если у нас есть локальный минимум и куча седловых точек, ничего сказать нельзя
А что за форум и обсуждение? :-)

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение10.01.2020, 20:15 
Sicker
Здесь на $dxdy$ доказывали это же неравенство не очень давно.

 
 
 
 Re: Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена
Сообщение10.01.2020, 20:29 
Аватара пользователя
О, баян из баянов, оказывается: topic124508.html и topic125223.html

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group