Неинерциальные СО. Иродов.

[r0ma]

Здравствуйте! Разбираю задачку в Иродове со следующим условием:

Гладкий горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой $m$ и сообщили ей толчком горизонтальную скорость $v_0$. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета «диск», через $t_0$ после начала ее движения.


Расписываю по осям. Ось Ох:
$ma_x = F_{\text{цб}} = m\omega^2 r$
Отсюда, расписывая скорость

$$\frac{dv_x (r)}{dt}=\omega^2 r$$

$$\frac{dv_x}{dr}\frac{dr}{dt}=\omega^2 r$$

Производная $dr/dt$ — это радиальная скорость $v_r$. Поэтому

$$v_r\frac{dv_x}{dr}=\omega^2 r.$$

Теперь аналогично расписываю проекцию на ось Y. Но вообще, мне кажется, что я уже запутался. То, что я пока написал верно?

[Pphantom]

Во-первых, использовать несогласованные обозначения на рисунке и в формулах - не самая разумная идея (если что, набирается это так - $F_\text{цб}$). Во-вторых, на двигающуюся шайбу сила Кориолиса будет действовать и до момента $t_0$, соответственно, тело не будет двигаться вдоль радиуса, соответственно, у силы Кориолиса будет ненулевая компонента, направленная вдоль оси $x$.

[r0ma]

Pphantom в сообщении #1432529 писал(а):

Во-первых, использовать несогласованные обозначения на рисунке и в формулах - не самая разумная идея (если что, набирается это так - $F_\text{цб}$). Во-вторых, на двигающуюся шайбу сила Кориолиса будет действовать и до момента $t_0$, соответственно, тело не будет двигаться вдоль радиуса, соответственно, у силы Кориолиса будет ненулевая компонента, направленная вдоль оси $x$.

Cоглашусь.
По определению

$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ v_x & v_y & 0 \\ 0 & 0 & \omega \end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{i}v_y-\mathbf{j}v_x)$$

.
Верно?

Тогда проекция на ось Х:

$$m\frac{dv_x}{dt}=m\omega^2 r- 2m\omega v_y$$

Проекция на ось Y:

$$m\frac{dv_y}{dt}= - 2m\omega v_x$$

Верно?

[Pphantom]

А что дальше вы намерены делать? Если движение происходит не вдоль радиуса, то система координат сама будет поворачиваться в процессе движения...

[r0ma]

Pphantom в сообщении #1432537 писал(а):

А что дальше вы намерены делать? Если движение происходит не вдоль радиуса, то система координат сама будет поворачиваться в процессе движения...

В этом и затык, что не понимаю, что дальше делать. Но тут, видимо, надо решать в полярной системе, да? Тогда будут компоненты скорсти $v_{\varphi}$ и $v_r$. И поэтому надо писать проекции на фи-тую и на эр-тую оси. Правильно рассуждаю?

[Pphantom]

Правильно.

[r0ma]

Pphantom в сообщении #1432540 писал(а):

Правильно.

Решил. Но с ответом слегка не сходится в коэффициенте. В любом случае. В цилиндрической СК сила Кориолиса (греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить):

$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]= \begin{vmatrix} \mathbf{r^0} & \mathbf{\varphi^0} & \mathbf{z^0} \\ v_r & v_\varphi & 0 \\ 0 & 0 & \omega \end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{r^0}v_\varphi-\mathbf{\varphi^0}v_r)$$

Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$
Проекция на ось $\varphi$: $\dot{v}_\varphi=-2\omega^2 v_r$

Далее, так как $v_r= v_r(r)$ и $v_\varphi= v_\varphi(r)$, то

$$\dot{v}_r=\frac{dv_r}{dr}\frac{dr}{dt}=v_r\frac{dv_r}{dr}.$$

И аналогично

$$\dot{v}_\varphi=\frac{dv_\varphi}{dr}\frac{dr}{dt}=v_r\frac{dv_\varphi}{dr}.$$

Подставляя в фи-тую компоненту, получим

$$v_r\frac{dv_\varphi}{dr}=-2\omega v_r.$$

Следовательно интегрируя

$$v_\varphi=-2\omega r.$$

Подставляя это в r-тую компоненту

$$v_r\frac{dv_r}{dr}=\omega^2 r+ 4\omega^2 r=5\omega^2 r.$$

Деля переменные и интегрируя в пределах $r=0\rightarrow v=v_0$ и $r=r_0\rightarrow v=v_r$ получим, что

$$v_r^2 = v_0^2+10\omega^2 r_0.$$

Теперь. Модуль силы Кориолиса будет

$$F_K=2m\omega\sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2} = 2m\omega\sqrt{v_0^2+14\omega^2r_0^2}=2m\omega v_0\sqrt{1+14\omega^2 t_0^2}$$

Вроде так.

Но в ответе нет коэффициента 14. В ответе под корнем просто $1+\omega^2 t_0^2$. Ошибки найти пока не могу.

[Pphantom]

r0ma в сообщении #1432542 писал(а):

Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$

Откуда тут взялся минус?

[r0ma]

Pphantom в сообщении #1432544 писал(а):

r0ma в сообщении #1432542 писал(а):

Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$

Откуда тут взялся минус?

Хороший вопрос. Почему-то в голове подумалось, что направлено против оси $r$, поэтому минус поставил. Исправил на плюс. И ещё в одном месте ошибку нашёл. Теперь сошлось. Спасибо.

[StaticZero]

(Оффтоп)

r0ma в сообщении #1432542 писал(а):

греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить

$\boldsymbol{\omega}$ \boldsymbol{\omega}
$\boldsymbol{\varphi}^0$ \boldsymbol{\varphi}^0

[Munin]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1432551 писал(а):

r0ma в сообщении #1432542 писал(а):

греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить

$\boldsymbol{\omega}$ \boldsymbol{\omega}
$\boldsymbol{\varphi}^0$ \boldsymbol{\varphi}^0

$\pmb{\omega}$ \pmb{\omega}
$\pmb{\varphi}^0$ \pmb{\varphi}^0
pmb = poor man's bold

[pogulyat_vyshel]

r0ma в сообщении #1432532 писал(а):

По определению

$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ v_x & v_y & 0 \\ 0 & 0 & \omega \end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{i}v_y-\mathbf{j}v_x)$$

.

на всякий случай: $\boldsymbol F_c=-2m[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_{\mbox{отн}}]$

[Pphantom]

pogulyat_vyshel в сообщении #1432561 писал(а):

на всякий случай: $\boldsymbol F_c=-2m[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_{\mbox{отн}}]$

А в чем разница (кроме части обозначений)?

[pogulyat_vyshel]

Я обратил внимание ТС на то ,что в формулу входит скорость точки относительно неинерциальной системы. В этом месте часто делают ошибки используя скорость относительно ИСО наблюдателя.

[noise_55]

r0ma
Здравствуйте, можете подсказать, в чем у вас еще одна ошибка? В ответе присутствует лишний коэффициент, хотелось бы узнать, как вы от него избавились. Можете рассказать полное правильное решение задачи?