2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 13:07 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Здравствуйте! Разбираю задачку в Иродове со следующим условием:

Гладкий горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой $m$ и сообщили ей толчком горизонтальную скорость $v_0$. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета «диск», через $t_0$ после начала ее движения.
Изображение

Расписываю по осям. Ось Ох:
$ma_x = F_{\text{цб}} = m\omega^2 r$
Отсюда, расписывая скорость
$$\frac{dv_x (r)}{dt}=\omega^2 r$$
$$\frac{dv_x}{dr}\frac{dr}{dt}=\omega^2 r$$

Производная $dr/dt$ — это радиальная скорость $v_r$. Поэтому

$$v_r\frac{dv_x}{dr}=\omega^2 r.$$

Теперь аналогично расписываю проекцию на ось Y. Но вообще, мне кажется, что я уже запутался. То, что я пока написал верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 13:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Во-первых, использовать несогласованные обозначения на рисунке и в формулах - не самая разумная идея (если что, набирается это так - $F_\text{цб}$). Во-вторых, на двигающуюся шайбу сила Кориолиса будет действовать и до момента $t_0$, соответственно, тело не будет двигаться вдоль радиуса, соответственно, у силы Кориолиса будет ненулевая компонента, направленная вдоль оси $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 14:06 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Pphantom в сообщении #1432529 писал(а):
Во-первых, использовать несогласованные обозначения на рисунке и в формулах - не самая разумная идея (если что, набирается это так - $F_\text{цб}$). Во-вторых, на двигающуюся шайбу сила Кориолиса будет действовать и до момента $t_0$, соответственно, тело не будет двигаться вдоль радиуса, соответственно, у силы Кориолиса будет ненулевая компонента, направленная вдоль оси $x$.

Cоглашусь.
По определению
$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
v_x & v_y & 0 \\
0 & 0 & \omega
\end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{i}v_y-\mathbf{j}v_x)$$.
Верно?

Тогда проекция на ось Х:
$$m\frac{dv_x}{dt}=m\omega^2 r- 2m\omega v_y$$

Проекция на ось Y:
$$m\frac{dv_y}{dt}= - 2m\omega v_x$$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 14:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
А что дальше вы намерены делать? Если движение происходит не вдоль радиуса, то система координат сама будет поворачиваться в процессе движения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 14:36 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Pphantom в сообщении #1432537 писал(а):
А что дальше вы намерены делать? Если движение происходит не вдоль радиуса, то система координат сама будет поворачиваться в процессе движения...

В этом и затык, что не понимаю, что дальше делать. Но тут, видимо, надо решать в полярной системе, да? Тогда будут компоненты скорсти $v_{\varphi}$ и $v_r$. И поэтому надо писать проекции на фи-тую и на эр-тую оси. Правильно рассуждаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 14:38 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 15:30 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Pphantom в сообщении #1432540 писал(а):
Правильно.

Решил. Но с ответом слегка не сходится в коэффициенте. В любом случае. В цилиндрической СК сила Кориолиса (греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить):
$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]=
\begin{vmatrix}
\mathbf{r^0} & \mathbf{\varphi^0} & \mathbf{z^0} \\
v_r & v_\varphi & 0 \\
0 & 0 & \omega
\end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{r^0}v_\varphi-\mathbf{\varphi^0}v_r)$$

Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$
Проекция на ось $\varphi$: $\dot{v}_\varphi=-2\omega^2 v_r$

Далее, так как $v_r= v_r(r)$ и $v_\varphi= v_\varphi(r)$, то
$$\dot{v}_r=\frac{dv_r}{dr}\frac{dr}{dt}=v_r\frac{dv_r}{dr}.$$

И аналогично $$\dot{v}_\varphi=\frac{dv_\varphi}{dr}\frac{dr}{dt}=v_r\frac{dv_\varphi}{dr}.$$

Подставляя в фи-тую компоненту, получим
$$v_r\frac{dv_\varphi}{dr}=-2\omega v_r.$$
Следовательно интегрируя $$v_\varphi=-2\omega r.$$

Подставляя это в r-тую компоненту
$$v_r\frac{dv_r}{dr}=\omega^2 r+  4\omega^2 r=5\omega^2 r.$$

Деля переменные и интегрируя в пределах $r=0\rightarrow v=v_0$ и $r=r_0\rightarrow v=v_r$ получим, что

$$v_r^2 = v_0^2+10\omega^2 r_0.$$

Теперь. Модуль силы Кориолиса будет

$$F_K=2m\omega\sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2} = 2m\omega\sqrt{v_0^2+14\omega^2r_0^2}=2m\omega v_0\sqrt{1+14\omega^2 t_0^2}$$

Вроде так.

Но в ответе нет коэффициента 14. В ответе под корнем просто $1+\omega^2 t_0^2$. Ошибки найти пока не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 15:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
r0ma в сообщении #1432542 писал(а):
Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$
Откуда тут взялся минус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 15:52 
Аватара пользователя


10/03/11
208
Pphantom в сообщении #1432544 писал(а):
r0ma в сообщении #1432542 писал(а):
Далее, проекции на ось $r$ даёт (массы сократил): $\dot{v}_r=\omega^2 r - 2\omega v_\varphi$
Откуда тут взялся минус?

Хороший вопрос. Почему-то в голове подумалось, что направлено против оси $r$, поэтому минус поставил. Исправил на плюс. И ещё в одном месте ошибку нашёл. Теперь сошлось. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero

(Оффтоп)

r0ma в сообщении #1432542 писал(а):
греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить

$\boldsymbol{\omega}$ \boldsymbol{\omega}
$\boldsymbol{\varphi}^0$ \boldsymbol{\varphi}^0

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1432551 писал(а):
r0ma в сообщении #1432542 писал(а):
греческие жирным не выделяются, не знаю пока как исправить

$\boldsymbol{\omega}$ \boldsymbol{\omega}
$\boldsymbol{\varphi}^0$ \boldsymbol{\varphi}^0

$\pmb{\omega}$ \pmb{\omega}
$\pmb{\varphi}^0$ \pmb{\varphi}^0
pmb = poor man's bold

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 19:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
r0ma в сообщении #1432532 писал(а):
По определению
$$F_K=2m[\mathbf{v}, \mathbf{\omega}]=
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
v_x & v_y & 0 \\
0 & 0 & \omega
\end{vmatrix}=2m\omega(\mathbf{i}v_y-\mathbf{j}v_x)$$.

на всякий случай: $\boldsymbol F_c=-2m[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_{\mbox{отн}}]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 19:54 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
pogulyat_vyshel в сообщении #1432561 писал(а):
на всякий случай: $\boldsymbol F_c=-2m[\boldsymbol\omega,\boldsymbol v_{\mbox{отн}}]$
А в чем разница (кроме части обозначений)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение29.12.2019, 19:58 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Я обратил внимание ТС на то ,что в формулу входит скорость точки относительно неинерциальной системы. В этом месте часто делают ошибки используя скорость относительно ИСО наблюдателя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинерциальные СО. Иродов.
Сообщение10.11.2023, 22:04 


10/11/23
1
r0ma
Здравствуйте, можете подсказать, в чем у вас еще одна ошибка? В ответе присутствует лишний коэффициент, хотелось бы узнать, как вы от него избавились. Можете рассказать полное правильное решение задачи?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group