Единичный квадрат на плоскости и вписанная в него окружность

[scwec]

Чтобы не забыть

scwec в сообщении #1432423 писал(а):

Предлагаю доказать также, что на всех концентрических (с вписанной в единичный квадрат) окружностях с радиусами $r=\frac{p}{q}$ и $r=\frac{p}{2q}$,
где $p,q$ - произвольные целые нечетные числа и $\gcd(p,q)=1$, не имеется точек с более чем двумя рациональными расстояниями до вершин единичного квадрата.

привожу решение.
Имеем систему уравнений $x^2+y^2=a^2, x^2+(y-1)^2=b^2, (x-1)^2+y^2=c^2, (x-1)^2+(y-1)^2=d^2$,
где $a,b,c,d$ - расстояния от точки с координатами $x,y$ до вершин единичного квадрата $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$.
Кроме того $(2x-1)^2+(2y-1)^2=4r^2$, где $r$ - радиус окружности с центром в пересечении диагоналей единичного квадрата.
Имеем $a^2+d^2=b^2+c^2=2r^2+1$, где $r=p/q$ или $r=p/2q$, где $p,q$ взаимно простые нечетные положительные целые числа.
Предположим, что на окружности имеется точка с тремя рациональными расстояниями до вершин единичного квадрата.
Тогда хотя бы одна из пар $a,d$ или $b,c$ содержит рациональные числа.
Пусть $a,d$ - рациональные числа.
Тогда
1. $r=p/q$, где $p.q$ - нечетные целые числа.
И $a^2+d^2=2(p^2)/(q^2)+1$
или $(qa)^2+(qd)^2=2p^2+q^2$
Правая часть дает остаток 3 при делении на 4.
2. $r=p/2q$, где $p,q$ - нечетные целые числа.
И $a^2+d^2=2p^2/(4q^2)+1$
или $(2qa)^2+(2qd)^2=2(p^2+2q^2)$.
Выражение в скобках правой части дает остаток 3 при делении на 4.
Теперь воспользуемся известным результатом:
Уравнение $x^2+y^2=c$, где $c$ положительное целое, а $x,y$ рациональные числа, тогда и только тогда имеет решение, когда все простые нечетные числа, входящие в разложение $c$ в нечетных степенях дают остаток 1 при делении на 4.
Однако, в обоих случаях 1. и 2. разложение правых частей, очевидно, содержит простое нечетное число в нечетной степени, дающее остаток 3 при делении на 4.
Полученное противоречие доказывает утверждение.
Нетрудно доказать, что множество точек всех рассматриваемых окружностей всюду плотно на плоскости.