Треугольник в модели Пуанкаре

[Mikhail Shcherbakov]

Условие задачи.

На плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре найти точку пересечения серединных перпендикуляров треугольника $A=0$ , $B=\frac{1}{2} e^{\frac{\pi i}{6}}$ , $C=\frac{1}{2} e^{\frac{-\pi i}{6}}$.

Я начал решать эту задачу в модели Пуанкаре в круге. Для начала просто нарисовал этот треугольник. Он симметричный относительно горизонтального диаметра. AB и AC это симметричные отрезки диаметров, а ВС - отрезок прямой (дуги).
Я думаю, что стоит попытаться параметризовать каждую из сторон треугольника, потом найти серединные перпендикуляры сторон AB и AC (так как очевидно, что перпендикуляр стороны BC будет параметризован как $\left\lbrace t,0\right\rbrace$). И, наконец, найти в явном виде точку пересечения полученных параметрических кривых.
Однако я не понимаю как параметризовать сторону BC. Помогите пожалуйста с этим вопросом.

[Brukvalub]

Mikhail Shcherbakov в сообщении #1432089 писал(а):

Однако я не понимаю как параметризовать сторону BC.

Ясен пень! Я тоже не понимаю, поскольку в условии 2 разные точки В и ни одной точки С.

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432091 писал(а):

Mikhail Shcherbakov в сообщении #1432089 писал(а):

Однако я не понимаю как параметризовать сторону BC.

Ясен пень! Я тоже не понимаю, поскольку в условии 2 разные точки В и ни одной точки С.

Поправил. Спасибо за замечание!

[Brukvalub]

Вы же нашли срединный перпендикуляр к ВС, зачем тогда параметризовать эту сторону?

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432119 писал(а):

Вы же нашли срединный перпендикуляр к ВС, зачем тогда параметризовать эту сторону?

Да, точно, это лишнее "телодвижение".
Не подскажете, как найти серединный перпендикуляр, например, к AB? Не могу понять с чего начать...
Я могу параметризовать AB как $\left\lbrace\frac{\sqrt{3}}{4} t, \frac{1}{4} t\right\rbrace$
Возможно у меня получится найти точку, являющуюся серединой этой стороны, однако что делать дальше?

[Brukvalub]

Я бы начал думать вот о чем:
Если срединный перпендикуляр к отрезку в гиперболической геометрии является г.м.т., равноудаленных от его концов, то искомая точка - центр описанной около треугольника окружности, а всякая гиперболическая окружность является и евклидовой окружностью, но не обязательно с теми же радиусом и центром....
В любом случае будет удобнее действовать в модели верхней полуплоскости.

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432137 писал(а):

Я бы начал думать вот о чем:
Если срединный перпендикуляр к отрезку в гиперболической геометрии является г.м.т., равноудаленных от его концов, то искомая точка - центр описанной около треугольника окружности, а всякая гиперболическая окружность является и евклидовой окружностью, но не обязательно с теми же радиусом и центром....
В любом случае будет удобнее действовать в модели верхней полуплоскости.

А не подскажете, как перейти в верхнюю полуплоскость из круговой модели? Или где про это можно почитать?

[Brukvalub]

Например, Прасолов Геометрия Лобачевского, Беардон Геометрия дискретных групп, еще есть на басурманском книги.

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432143 писал(а):

Например, Прасолов Геометрия Лобачевского, Беардон Геометрия дискретных групп, еще есть на басурманском книги.

По Прасолову получается, что я могу применить дробно-линейное отображение $z\mapsto w=i\frac{1+z}{1-z}$ для трёх точек треугольника. Получу треугольник в верхней полуплоскости, найду точку пересечения, а потом обратным отображением этой точки получу ответ задачи. Я Вас правильно понял?

[vpb]

Ой, не надо, имхо, к модели в полуплоскости переходить. Во всяком случае, я вижу, как ее с моделью в круге решить, без полуплоскости. Хотя, полуплоскость это действительно, кажется, самая распространенная модель плоскости Лобачевского. Mikhail Shcherbakov, подумайте вот над чем. Допустим, у нас есть на плоскости (обычной) четыре точки на оси абсцисс, с координатами $A(-1)$, $B(1)$, $C(0)$, $D(1/2)$. Найти окружность такую, что относительно нее как $A$ с $B$, так и $C$ с $D$ находятся в инверсии.

-- 26.12.2019, 23:34 --

На самом деле, стоит решить ту же задачу, в которой координата точки $D$ --- не только $1/2$, а любое число $0<t<1$.

[Brukvalub]

vpb в сообщении #1432146 писал(а):

Хотя, полуплоскость это действительно, кажется, самая распространенная модель плоскости Лобачевского.

И в полуплоскости легче всего писать Евклидовы уравнения геодезических!

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432147 писал(а):

vpb в сообщении #1432146 писал(а):

Хотя, полуплоскость это действительно, кажется, самая распространенная модель плоскости Лобачевского.

И в полуплоскости легче всего писать Евклидовы уравнения геодезических!

Я успешно перешел в верхнюю полуплоскость. Получается мой треугольник образован тремя дугами. Вы сказали, что теперь будет легче решить задачу. Можете, пожалуйста, поподробней объяснить, что Вы имели ввиду.

[Brukvalub]

Mikhail Shcherbakov в сообщении #1432149 писал(а):

Вы сказали, что теперь будет легче решить задачу. Можете, пожалуйста, поподробней объяснить, что Вы имели ввиду.

Я намекал вам не на переход в полуплоскость, а вот на это:

Brukvalub в сообщении #1432137 писал(а):

Если срединный перпендикуляр к отрезку в гиперболической геометрии является г.м.т., равноудаленных от его концов, то искомая точка - центр описанной около треугольника окружности, а всякая гиперболическая окружность является и евклидовой окружностью, но не обязательно с теми же радиусом и центром....

[Mikhail Shcherbakov]

Brukvalub в сообщении #1432151 писал(а):

Mikhail Shcherbakov в сообщении #1432149 писал(а):

Вы сказали, что теперь будет легче решить задачу. Можете, пожалуйста, поподробней объяснить, что Вы имели ввиду.

Я намекал вам не на переход в полуплоскость, а вот на это:

Brukvalub в сообщении #1432137 писал(а):

Если срединный перпендикуляр к отрезку в гиперболической геометрии является г.м.т., равноудаленных от его концов, то искомая точка - центр описанной около треугольника окружности, а всякая гиперболическая окружность является и евклидовой окружностью, но не обязательно с теми же радиусом и центром....

Получается, моя задача - неким образом найти эту самую описанную окружность, центром которой и будет точка пересечения?

[vpb]

Brukvalub
Может быть. Я в этой науке начал было разбираться, но пока еще в желаемой степени не разобрался. Недавно прочитал книгу Атанасян, Геометрия Лобачевского. Понравилося. А книжка Прасолова мне как-то не очень нравится, слишком уж конспективна. Но там тоже много интересного и полезного. А еще из Ефимов, Высшая геометрия много почерпнул. Не думаю, правда, что ТС их все будет сейчас читать, так что это так, советы для третьих лиц, мало ли кто забредет в наш городок.