Доказать сходимость последовательности - критерий Коши

[mutter123]

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности:
$x_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}$
Мое решение:
$|x_{n+p} - x_n| = |\frac{1}{{n+1}^2}+...+ \frac{1}{{(n+p)}^2}}| > \frac{p^2}{{(n+p)}^2}$
Возьмем $n = p$, тогда
$|x_{n+p} - x_n| > \frac{p^2}{(2p)^2} = \frac{1}{4} > \varepsilon $ $\forall n$
Следовательно последовательность расходится, а не сходится.
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении

[Lia]

mutter123 в сообщении #1431968 писал(а):

$|x_{n+p} - x_n| = |\frac{1}{{n+1}^2}+...+ \frac{1}{{(n+p)}^2}}| > \frac{p^2}{{(n+p)}^2}$

Откуда последний знак неравенства?

[mutter123]

Lia в сообщении #1431969 писал(а):

mutter123 в сообщении #1431968 писал(а):

$|x_{n+p} - x_n| = |\frac{1}{{n+1}^2}+...+ \frac{1}{{(n+p)}^2}}| > \frac{p^2}{{(n+p)}^2}$

Откуда последний знак неравенства?

Просто путем подстановки получался такой знак

[Lia]

mutter123 в сообщении #1431972 писал(а):

Просто путем подстановки получался такой знак

Подробнее, пожалуйста. Можно для двух слагаемых пока.

[mutter123]

Lia в сообщении #1431973 писал(а):

mutter123 в сообщении #1431972 писал(а):

Просто путем подстановки получался такой знак

Подробнее, пожалуйста. Можно для двух слагаемых пока.

Кажется я понял ошибку.
Предположим $n=2$ и $p=3$
Тогда $\frac {1}{3^2} + \frac{1}{5^2} < \frac{3^2}{5^2}$
Значит последовательность сходится
Верно?

[Lia]

mutter123 в сообщении #1431974 писал(а):

Значит последовательность сходится

Не значит. Значит, оценка Ваша неверна.
А что сходится - надо доказывать, раз просят, через фундаментальность.

[Brukvalub]

Задача не так уж и проста для начинающего. Советую оценить сверху получившуюся у вас сумму, заменяя в знаменателе квадраты нат.чисел на произведения соседних нат. чисел. Так получится легко вычисляемый телескоп.

[Lia]

Brukvalub в сообщении #1431979 писал(а):

Задача не так уж и проста для начинающего. Советую оценить сверху получившуюся у вас сумму, заменяя в знаменателе квадраты нат.чисел на произведения соседних нат. чисел. Так получится легко вычисляемый телескоп.

Она обычно и сопровождается (для начинающего) в задачниках, в Демидовиче, в частности, соответствующей подсказкой. Видимо, расчет был на то, что человек ее прочитал вовремя.

[Padawan]

Оцените сумму $\frac{1}{(2^n+1)^2}+\frac{1}{(2^n+2)^2}+\ldots+\frac{1}{(2^{n+1})^2}$, а затем несколько подряд идущих сумм такого вида.

[pogulyat_vyshel]

mutter123 в сообщении #1431968 писал(а):

Мое решение:
$|x_{n+p} - x_n| = |\frac{1}{{n+1}^2}+...+ \frac{1}{{(n+p)}^2}}| $
Возьмем $n = p$, тогда

оцените это интегралом