2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 19:54 
Заслуженный участник


13/12/05
3992
Пришел в голову простой (относительно) способ вычислить интегралы $\int\limits_0^{+\infty} \cos(x^2) dx$, $\int\limits_0^{+\infty} \sin(x^2) dx$. Заметим, что равенство $\int\limits_0^{+\infty} e^{-a x^2} dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$ выполняется не только при $a>0$, но и при всех $\mathop{\mathrm{Re}} a>0$ (по принципу аналитического продолжения). Значит, $\int\limits_0^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\cos(\beta x^2) dx=\mathop{\mathrm{Re}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\alpha+i\beta}} $ при $\alpha>0$. Берется ветвь корня, полученная продолжением с действительной оси, то есть с положительной действительной частью. Тогда
$$\int\limits_0^{+\infty}\cos(\beta x^2) dx=\lim\limits_{\alpha\to 0+0} \int\limits_0^{+\infty} e^{-\alpha x^2}\cos(\beta x^2) dx=\lim\limits_{\alpha\to 0+0}\mathop{\mathrm{Re}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\alpha+i\beta}} =\mathop{\mathrm{Re}}\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{i\beta}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}\sqrt{\beta}}
$$
Надо еще обосновать предельный переход под знаком интеграла при $\alpha\to 0+0$. Используется признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 20:20 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1210
Padawan
Если уж Вы используете ТФКП, то контурным интегрированием попроще будет, разве нет? А этот метод страшновато выглядит, честно говоря.

(Оффтоп)

Хотя, возможно, это я пугливый такой...

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 20:25 
Заслуженный участник


20/12/10
7481
Padawan в сообщении #1431910 писал(а):
Заметим, что равенство $\int\limits_0^{+\infty} e^{-a x^2} dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}$ выполняется не только при $a>0$, но и при всех $\mathop{\mathrm{Re}} a>0$ (по принципу аналитического продолжения).
Если уж методы ТФКП, то можно просто проинтегрировать по сектору, ограниченному лучами $\arg{z}=0$ и $\arg{z}=\pi/4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 20:46 
Заслуженный участник


13/12/05
3992
С контурным интегрированием способ известный. Там надо делать оценку интеграла по дуге. И это уж вообще ТФКП, ТФКП. А здесь идея аналитического продолжения. Вот, например, ещё такой интеграл тем же методом аналитического продолжения: известно, что $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx=\ln \frac ba$ для $a,b>0$ (Фруллани). Тогда при $\alpha,\beta>0$
$$
\int_0^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x}\cos px-e^{-\beta x}\cos qx}{x} dx=\mathop{\mathrm{Re}}\ln\frac {\beta+iq}{\alpha+ip}=\ln\left|\frac{\beta+iq}{\alpha+ip}\right|=\frac{1}{2}\ln\frac{\beta^2+q^2}{\alpha^2+p^2}
$$
По-моему красиво :-)

$$
\int_0^{+\infty}\frac{e^{-\alpha x}\sin px-e^{-\beta x}\sin qx}{x} dx=\operatorname {Im}  \ln \frac{\beta-iq}{\alpha-ip}=\operatorname {arg} \frac{\beta-iq}{\alpha-ip}=\arctg \frac p\alpha-\arctg\frac q\beta 
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 20:54 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1210
Padawan в сообщении #1431922 писал(а):
Там надо делать оценку интеграла по дуге

В Вашем методе тоже обоснований не оберёшься. Причём, насколько мне помнится, в "контурном методе" только лемма Жордана и требуется. А она простая и по доказательству, и идеологически. Аналитическое продолжение и обоснование предельного перехода сложнее, как мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 21:00 
Заслуженный участник


20/12/10
7481
Padawan в сообщении #1431922 писал(а):
По-моему красиво
С косинусами да, но с синусами считается только разность интегралов, хотя можно посчитать каждый интеграл по отдельности (они равны соответствующим арктангенсам).

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 21:10 
Заслуженный участник


13/12/05
3992
nnosipov в сообщении #1431925 писал(а):
но с синусами считается только разность интегралов

Почему, можно положить $q=0$ :-) Блин, я всегда интуитивно чувствовал, что интеграл Дирихле связан с интегралом Фруллани!

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение25.12.2019, 21:16 
Заслуженный участник


20/12/10
7481
Padawan в сообщении #1431928 писал(а):
можно положить $q=0$
Да, действительно.

Вообще, идея аналитического продолжения --- хорошая идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение26.12.2019, 01:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13588
Москва
nnosipov в сообщении #1431931 писал(а):
Вообще, идея аналитического продолжения --- хорошая идея.

Вот только простых объяснений понятия аналит. продолжения я не видел. Это традиционно нудная и непростая тема в ТФКП, студенты на семинарах очень плохо ее понимают и затрудняются строить аналит. продолжения.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение26.12.2019, 10:47 
Заслуженный участник


13/12/05
3992
Brukvalub в сообщении #1431981 писал(а):
студенты на семинарах очень плохо ее понимают и затрудняются строить аналит. продолжения.

Интересно, в чем там проблема ? Есть две аналитические функции, в пересечении областей они совпадают на множестве, имеющем предельную точку. Значит они друг друга продолжают и являются кусками одной и той же полной аналитической функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение26.12.2019, 14:05 


26/04/11
48
Padawan в сообщении #1431910 писал(а):
Пришел в голову простой (относительно) способ вычислить интегралы

Я аналогичным образом с дирихлевскими интегралами обхожусь:
$$\int_0^\infty \frac{e^{it}}{t^a}\,dt=\int_0^\infty e^{-(-i)t}t^{1-a-1}\,dt=\frac{\Gamma(1-a)}{(-i)^{1-a}}=\frac{\Gamma(1-a)}{e^{-\frac{\pi i}{2}(1-a)}}=\frac{\pi i\cdot e^{-\frac{\pi ia}{2}}}{\Gamma(a)\sin\pi a}=\frac{\pi}{2\Gamma(a)}\Bigl(\frac{1}{\cos\tfrac{\pi a}{2}}+\frac{i}{\sin\tfrac{\pi a}{2}}\Bigr).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение26.12.2019, 14:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13588
Москва
Padawan в сообщении #1432023 писал(а):
Есть две аналитические функции, в пересечении областей они совпадают на множестве, имеющем предельную точку. Значит они друг друга продолжают и являются кусками одной и той же полной аналитической функции.

Чаще аналитически продолжают росток, привлекая всякие теоремы о монодромии, понятие накрытия и прочую страшную топологию. Пощупать все это руками не всегда просто, интуиция работает плохо, вот студенты и пугаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: О вычислении интегралов Френеля
Сообщение27.12.2019, 09:15 


16/04/18
688
Вывод через интеграл от экспоненты с параметром как пример этой теории - это разве не из Фихтенгольца? Но там всё действительное без КП.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group