линейная алгебра

[Матика]

Найти систему линейных уравнений, подпрстранство решений которой совпадает с линейной оболочкой системы векторов $a_1,a_2,a_3$.
Я нашел фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, который состоит из одного вектора $x_1 = 1, x_2 = 4, x_3 = -2, x_4 = 6$, а что дальше?
Помогите советом, пожалуйста.

[Brukvalub]

Матика писал(а):

Найти систему линейных уравнений, подпрстранство решений которой совпадает с линейной оболочкой системы векторов $a_1,a_2,a_3$.
Я нашел фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, который состоит из одного вектора $x_1 = 1, x_2 = 4, x_3 = -2, x_4 = 6$, а что дальше?
Помогите советом, пожалуйста.

Разве без медиумов в Вашем вопросе можно что-либо понять? Сначала речь идет о тройке абстрактных векторов пространства неведомо какой размерности, а в следующем предложении вдруг возникает 4-хмерный вектор с конкретными компонентами как ф.с.р. неизвестно какой системы
Поэтому на вопрос:

Матика писал(а):

а что дальше?

так и хочется посоветовать для начала пойти и проспаться.

[Матика]

$a_1 = (1,-2,2,3), a_2 = (2,-3,2,4), a_3 = (2,2,1,0)$
Мое решение: Ax = 0
$x_1 - 2x_2 + 3x_4 = 0$
$2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 0$
$2x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$
$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 & 0\end{array} \right)$
После преобразований получил матрицу
$ \left( \begin{array}{cccc} 1 & -2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2/3 \end{array} \right)$ или
$x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0$. $x_1,x_2,x_3$- базисные неизвестные, $x_4$ - свободный
$x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0$
$x_3 + 2/3x_4 = 0$. Пусть $x_4 =1$, тогда $x_1=-1/3,x_2=2/3,x_3 =-2/3$ А дальше?

[Brukvalub]

Запишите векторное равенство

\[ \bar x = \alpha \bar a_1 + \beta \bar a_2 + \gamma \bar a_3 \]

. Исключив параметры

\[ \alpha \;,\;\beta \;,\;\gamma \]

, Вы и получите требуемую систему уравнений.

[Матика]

Спасибо. Что-то никак не свяжу. Где - нибудь можно почитать об этом? В инете пролистал - не нашел эту тему.

[Brukvalub]

Матика писал(а):

В инете пролистал - не нашел эту тему.

Странно Первая же ссылка в Гугле содержит и объяснение и пример решения. Образовывайтесь : http://www.intuit.ru/department/mathematics/algmatrix/9/2.html

[Матика]

Т.е. мне нужно решить систему уравнений?
$y_1+2y_2+2y_3$ = -1/3
$-2y_1-3y_2+2y_3$ = 2/3
$2y_1+2y_2+y_3$ = -2/3
$3y_1+4y_2$ =1.

[Матика]

Т.к у меня фундаментальная система состоит из одной строки $(x_1=\frac{-1} {3},-1,x_2=\frac{2} {3},x_3=\frac{-2} {3},x_4=1)$, то однородная система уравнений равна
$\frac{-1} {3}x_1+\frac{2} {3}x_2-\frac{2} {3}x_3+x_4$=0 ?

Добавлено спустя 2 часа 7 минут 59 секунд:

Я вот еще подумал: пусть мое произвольное решение Х искомой системы явл. линейной комбинацией одного решения, поэтому столбцы матрицы должны быть ЛЗ, т.е. ранг должен равен 1.
$ \left( \begin{array}{cc} \frac{-1} {3} & {x_1}\\ \frac {2} {3} & x_2\\ \frac{-2} {3} & {x_3}\\ 1 & x_4 \end{array} \right)$ = $ \left( \begin{array}{cc} \ {1} & {-3x_1}\\ \ {0} & {x_2+2x_1}\\ \ {0} & {x_3+2x_1}\\ 0 & {x_4+3x_1 \end{array} \right)$ Чтобы ранг матрицы равнялся 1, н.и д., чтобы три строки были нулевыми. Отсюда получаем систему:
$ \left\{ \begin{array}{l} x_2+2x_1 = 0,\\ x_3+2x_1 = 0,\\ x_4+3x_1 = 0. \end{array} \right. $ Првильно?

[Brukvalub]

Ранг матрицы из исходных 4-хмерных векторов равен 3. Значит, линейная оболочка трехмерна. Поэтому должно быть одно уравнение на 4 координаты, а не 3, как у Вас.
Порочна сама Ваша метода изучения предмета: я дал Вам алгоритм действий, дал ссылку на лекцию Михалевых, где подробно разбирается аналогичная задача. Вы же, игнорируя все это, упорно гнете свое. Ну так и гните дальше, только без меня....

[Матика]

Следуя вашим указаниям (ссылкой), я пришел к решению (предпоследнему). Но Вы молчали, я подумал, что Вы его не приняли за правильное.

[Brukvalub]

Матика писал(а):

Т.к у меня фундаментальная система состоит из одной строки $(x_1=\frac{-1} {3},-1,x_2=\frac{2} {3},x_3=\frac{-2} {3},x_4=1)$, то однородная система уравнений равна
$\frac{-1} {3}x_1+\frac{2} {3}x_2-\frac{2} {3}x_3+x_4$=0 ?

Вот здесь и содержится правда, а сержусь я на то, что Вы приписали еще ниже - создается ощущение, что Вы так ничего и не поняли!

[Матика]

Не сердитесь. Спасибо Вам. Я понял, но показалось слишком просто. Осталось разобраться с базисом подпространства $L ^ \bot$

[Brukvalub]

Матика писал(а):

Осталось разобраться с базисом подпространства $L ^ \bot$

Так я же написал Вам в той теме главное соображение, нужное для поиска базиса

[Матика]

Я это сейчас и пытаюсь "переварить".