Кривизна кривой

[Gecko]

Н.С.Пискунов в "Дифференциальное и интегральное исчисление", Т.1, глава IX писал(а):

...

$$\[\dfrac{1}{R^2}=\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{ds^2}\Big)^2\eqno(6)\]\\$$

...
Рассмотрим случай, когда радиус-вектор $\mbox{\boldmath$r$}$\\$ выражен как функция произвольного параметра $t$:

$$\mbox{\boldmath$r$}=\mbox{\boldmath$r$}(t)$$

В этом случае длину дуги $s$ будем рассматривать как фукнцию параметра $t$. Тогда вычисление кривизны производится следующим образом:

$$\[\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}=\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{ds}\dfrac{ds}{dt}\eqno(7)\]\\$$

Так как

$$\left\lvert\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{ds}\right\rvert=1$$

то

$$\[\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2=\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\eqno(8)\]\\$$

Дифференцируя правую и левую части и сокращая на два, получим:

$$\[\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}=\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2s}{dt^2}\eqno(9)\]\\$$

Далее, из формулы (7) следует:

$$\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{ds}=\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}}$$

Дифференцируем по $s$ обе части последнего равенства:

$$\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{ds^2}=\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{1}{\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2}-\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3}$$

Подставляя полученное выражение $\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{ds^2}$ в формулу (6), будем иметь:

$$\dfrac{1}{R^2}=\Bigg[\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{1}{\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2}-\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{\dfrac{d^2s}{dt^2}}{\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3}\Bigg]^2= \dfrac{\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2 -2\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2s}{dt^2} +\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big(\dfrac{d^2s}{dt^2}\Big)^2} {\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^6}$$

Выражая $\dfrac{ds}{dt}$ и $\dfrac{d^2s}{dt^2}$ по формулам (8) и (9) через производные от $\mbox{\boldmath$r$}(t)$\\$, получим:

$$\[\dfrac{1}{R^2}= \dfrac{\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2 -\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2} {\Big[\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big]^3}\eqno(10)\]\\$$

Не понимаю, как из предпоследнего выражения получается формула (10).
Попробуем преобразовать слагаемые числителя в предпоследнем выражении с учетом формул (8) и (9).
Первое слагаемое:

$$\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2= \Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2$$

Второе слагаемое:

$$-2\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d^2s}{dt^2}= -2\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2$$

Третье слагаемое:

$$\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big(\dfrac{d^2s}{dt^2}\Big)^2= \dfrac{\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2}{\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2}= \Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2$$

В итоге получается:

$$\dfrac{1}{R^2}= \dfrac{2\Big[\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\Big)^2\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2 -\Big(\dfrac{d^2\mbox{\boldmath$r$}}{dt^2}\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big] }{\Big[\Big(\dfrac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt}\Big)^2\Big]^3}$$

Не пойму, где ошибся и откуда вылезла двойка.

[Geen]

Квадрат скалярного произведения не равен произведению квадратов.

[Gecko]

Geen
Спасибо!
Понял. Третье слагаемое преобразовал неверно.