Период частного периодических функций.

[kot-obormot]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться - как найти период функции:

$f(x)=\dfrac{2\sin(6x)-\cos(4x)}{3\sin(6x)+\cos(4x)}$

Я понимаю, что у $\sin(6x)$ период $\dfrac{\pi}{3}$, у $\cos(4x)$ период $\dfrac{\pi}{2}$. Наименьшее общее кратное $\pi$. При этом я понимаю, что выполняется равенство $f(x+T)=f(x)$ при $T=\pi$, но как доказать, что данный период - наименьший, если это так, а так ли это?)

[DeBill]

kot-obormot
Самый надежный - но и самый тяжелый - способ: просто взять, да и решить уравнение
$f(x+T)=f(x)$ относительно $T$ (перерабатывая произведения в суммы, все сделается).
Можно также чуток схитрить: прибавление константы не меняет период; "переворачивание " дроби - тож, и т.д...
А уж потом -"самый надежный способ".

[kot-obormot]

Спасибо! А есть ли иные варианты?

[mihiv]

Здесь как-то была уже подобная задача. Можно действовать так: если $T$ какой-то период (в том числе и наименьший) функции $f(x)$, то равенство $f(x_0)=f(x_0+T)$ выполняется для любого частного значения $x=x_0$. Если удачно выбрать это частное значение $x_0$, то мы найдем множество чисел в котором легко обнаружить этот самый наименьший период.

[svv]

Ещё маленькая хитрость. Там, где $\cos 4x\neq 0$, нашу функцию можно представить в виде композиции $f=h\circ g$, где
$h(u)=\dfrac{2u-1}{3u+1}, \quad g(x)=\dfrac {\sin 6x}{\cos 4x}$
Так как $h$ инъективна, [наименьший] период $f$ совпадает с периодом $g$, которая приятнее.

[EUgeneUS]

Период функции не может быть меньше периода повторения каких-то специальных точек.

В данном случае у функции на периоде ровно один локальный максимум и ровно один локальный минимум.

[svv]

А как это узнать, не глядя на график? У функции $\frac{2\sin(6x)-\cos(4x)}{5+3\sin(6x)+\cos(4x)}$ целых три локальных максимума и три локальных минимума на период.

[EUgeneUS]

А как, не глядя на график, выбрать удачное $x_0$ тут:

mihiv в сообщении #1431088 писал(а):

Можно действовать так: если $T$ какой-то период (в том числе и наименьший) функции $f(x)$, то равенство $f(x_0)=f(x_0+T)$ выполняется для любого частного значения $x=x_0$. Если удачно выбрать это частное значение $x_0$, то мы найдем множество чисел в котором легко обнаружить этот самый наименьший период.

?

Имхо, полезно перебирать "специальные точки" - локальные экстремумы, нули, точки разрыва... Их конечное количество. Где-то наменьший период да найдется (не обязательно, конечно)

[mihiv]

EUgeneUS в сообщении #1431143 писал(а):

А как, не глядя на график, выбрать удачное $x_0$

Простейший выбор $x_0=0$ не очень удачен, но уже $x_0=\frac {\pi }{12}$ дает то, что нужно.

[EUgeneUS]

mihiv
1. А почему $\frac{\pi}{12}$, а не $\frac{\pi}{124}$?
2. И чем же хороша данная точка?

[mihiv]

EUgeneUS в сообщении #1431199 писал(а):

2. И чем же хороша данная точка?

Да, с точкой $\frac {\pi }{12}$ я ошибся. Но, тем не менее, пусть $x_0=0$, тогда из равенства $f(0)=f(0+T)$ получим, что любой период должен быть вида $\frac {k\pi }{6}$(где $k$- целое число). Так как $\pi $ период $f(x)$, то наименьший период - это либо $\pi $,либо одно из пяти чисел $\dfrac {k\pi }{6}, k=1,\dots ,5$, а это легко проверяется ввиду линейной независимости функций $\sin 6x, \cos 4x$ и т.д.

[svv]

Подход со специальными точками хорош, но почему бы не освободиться сначала от композиции, которая никак не меняет периодичность внутренней функции, только усложняет исследование?

Тогда у нас останется функция
$g(x)=\dfrac{\sin(6x)}{\cos(4x)}$
У неё нули $\frac{\pi}6 n$ и разрывы $\frac{\pi}4 n+\operatorname{const}$. Значит, минимальный период кратен $\frac{\pi}6$ и $\frac{\pi}4$, то есть кратен $\frac\pi 2$. Остаётся проверить, что $\frac{\pi}2$ не является периодом $g(x)$.