Задача со студенческой олимпиады МГУ.

[Sinus]

Пусть $\left\{ {f_n } \right\}$ - последовательность действительных чисел, причем

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f_{n + 1} f_n - f_{n - 1} f_{n + 2} }}{{f_{n + 1}^2 - f_n f_{n + 2} }} = \alpha + \beta $,

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f_n^2 - f_{n - 1} f_{n + 1} }}{{f_{n + 1}^2 - f_n f_{n + 2} }} = \alpha \beta $, $\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|$.

Доказать, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{f_n }}{{f_{n + 1} }} = \alpha \]

.

Задача взята из сборника "Задачи студенческих олимпиад по математике", она предлагалась на олимпиаде механико-математического факультета МГУ в 1977 году.

[Sinus]

Может быть, дело надо свести к рассмотрению Жордановых матриц.

[maxal]

Пусть $g_n = \frac{f_n}{f_{n+1}}$. Тогда:

$$u_n = \frac{{f_{n + 1} f_n - f_{n - 1} f_{n + 2} }}{{f_{n + 1}^2 - f_n f_{n + 2} }} = \frac{g_n g_{n+1} - g_{n-1} g_n}{g_{n+1} - g_n} = g_n + g_n\frac{g_n - g_{n-1}}{g_{n+1} - g_n} $$

и

$$v_n = \frac{{f_n^2 - f_{n - 1} f_{n + 1} }}{{f_{n + 1}^2 - f_n f_{n + 2} }} = g_n g_{n+1}\frac{g_n - g_{n-1}}{g_{n+1} - g_n}.$$

Ну а дальше ловкость рук и никакого мошенства.

Во-первых,

$$g_ng_{n+1} = g_{n+1} u_n - v_n$$

или

$$g_{n+1} = \frac{v_n}{u_n-g_n}.$$

Во-вторых,

$$\frac{g_n - g_{n-1}}{g_{n+1} - g_n} = \frac{g_n^2 - g_{n-1}g_n}{g_ng_{n+1} - g_n^2} = \frac{g_n^2 - (g_n u_{n-1} - v_{n-1})}{g_n\frac{v_n}{u_n-g_n} - g_n^2}$$

и соответственно

$$u_n = g_n + g_n \frac{g_n^2 - (g_n u_{n-1} - v_{n-1})}{g_n\frac{v_n}{u_n-g_n} - g_n^2}.$$

Откуда получаем, что $g_n$ является корнем квадратного уравнения

$$(u_n - u_{n-1}) x^2 + (-u_n^2 +u_n u_{n-1} + v_{n-1} - v_n) x + u_n v_n - u_n v_{n-1} = 0.$$

Решая это квадратное уравнение получаем два возможных решения:

$$g_n = u_n - u_{n-1}$$

или

$$g_n = \frac{v_n - v_{n-1}}{u_n - u_{n-1}}.$$

Дальше должно быть совсем просто...