Коммутатор свободных спинорных токов

[DismasK]

Нужно найти фурье-образ вакуумного ожидания коммутатора свободных спинорных токов:

$F(q)=\int\limits e^{iq(x-y)}\left\langle [J^\mu(x)J^\nu(y)]\right\rangle_0dx$

Спинорные токи:

1) $J^\mu(x)=\bar{\Psi}(x)\gamma^\mu\Psi(x)$
2) $J^\mu(x)=\bar{\Psi}(x)\gamma^\mu\gamma^5\Psi(x)$

Разложение поля:

$\Psi(x)=\int\limits \frac{dk}{(2\pi)^3/2}(e^{ikx}a^+(k)+e^{-ikx}b^-(k))$

$\bar{\Psi}(x)=\int\limits \frac{dk}{(2\pi)^3/2}(e^{ikx}b^+(k)+e^{-ikx}a^-(k))$

Раскрывая коммутатор токов и учитывая, что слева могут остаются только отрицательно-частотные части, а справа положительно-частотные, получаю:

$\left\langle \bar{\Psi}^-(x)\gamma^\mu \Psi^+(x) \bar{\Psi}^-(y)\gamma^\nu \Psi^+(y)+\underline{\bar{\Psi}^-(x)\gamma^\mu\Psi^-(x)\bar{\Psi}^+(y)\gamma^\nu\Psi^+(y)}-[x \leftrightarrow y, \mu \leftrightarrow \nu]\right\rangle_0$

Неподчеркнутое слагаемое, с учетом разложения фурье и коммутации операторов дает:

$\int\limits dk \bar{v}^-_s(k) \gamma^\mu v^+_s(k) \; \int\limits dq \bar{v}^-_r(q) \gamma^\nu v^+_r(q) - \int\limits dk \bar{v}^-_s(k) \gamma^\nu v^+_s(k) \; \int\limits dq \bar{v}^-_r(q) \gamma^\mu v^+_r(q)$

Если я правильно понимаю, то под знаками интегралов здесь скаляры (числа). И т.к. с одной и с другой стороны они одинаковые, то эти слагаемые дадут 0.

Подчеркнутое слагаемое вместе с таким-же из коммутатора даст:

$\gamma^\mu S^-(x-y) \gamma^\nu S^+(y-x) - \gamma^\mu S^+(x-y) \gamma^\nu S^-(y-x)$

Вопрос в том, можно ли это упростить? Мне кажется, я где-то допустил ошибку и потерял минус. Я ожидал, что получится нечто вроде - $\operatorname{Tr}(\gamma^\mu S(x-y) \gamma^\nu S(y-x))$