Помогите с задачей (Демидович)

[VanDerVan]

Подскажите, пожалуйста - решаю задачу из Демидовича для вузов (№3661), не могу понять, где ошибся. Условие такое: надо найти точки условного экстремума функции $u=x^2+y^2+z^2$, если $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$. При этом $a>b>c>0$.

Сама задача намекает на метод Лагранжа. Но я подумал, и решил пойти попроще: так как $z^2=c^2-\frac{c^2x^2}{a^2}-\frac{c^2y^2}{b^2}$, то заданную функцию $u$ можно записать так:

$u=\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)x^2+\left(1-\frac{c^2}{b^2}\right)y^2+c^2$

У полученной функции будет одна стационарная точка: (0;0), которая является точкой минимума. Т.е. у исходной функции получаются две точки условного минимума: $(0;0;c)$ и $(0;0;-c)$. Однако в ответе указаны ещё пару точек условного максимума: $(\pm{a};0;0)$. И я могу понять как они получились - просто можно выразить y через z и x, и рассмотреть новую функцию. Но я не могу понять, почему они получились. Т.е. почему подстановка $z^2=c^2-\frac{c^2x^2}{a^2}-\frac{c^2y^2}{b^2}$ не выявила все точки экстремума? Вроде мне попадалась в какой-то книге инфа, что можно, если выразить из уравнения связи одну переменную через иные, свести задачу условного экстремума к задаче обычного экстремума. Но я выразил переменную - а экстремумы нашлись не все. Никак не пойму - в чём подвох?

[Pphantom]

VanDerVan в сообщении #1430336 писал(а):

Сама задача намекает на метод Лагранжа.

Честно говоря, задача намекает на ее решение в уме.

Поэтому надо бы определиться: обязательно ли использовать метод Лагранжа (или какой-то другой конкретный) или задачу можно решать любым способом? Если первое, то "ходить проще" не надо, если второе, то есть намного более простое решение, для обнаружения которого надо подумать, уравнениями чего являются два выражения из условия задачи.

[Otta]

VanDerVan в сообщении #1430336 писал(а):

Но я подумал, и решил пойти попроще: так как $z^2=c^2-\frac{c^2x^2}{a^2}-\frac{c^2y^2}{b^2}$, то заданную функцию $u$ можно записать так:

$u=\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)x^2+\left(1-\frac{c^2}{b^2}\right)y^2+c^2$

Можно, не забыв при этом, что область определения новой функции - не вся плоскость:
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$
Это и из геометрических соображений так, и поскольку правая часть в равенстве $z^2=c^2-\frac{c^2x^2}{a^2}-\frac{c^2y^2}{b^2}$ не может быть отрицательна.
Так что Ваша задача на условный экстремум свелась к новой, с понижением размерности. Бывает.

[VanDerVan]

Pphantom, нам эту задачу дали после пары по экстремумам, т.е., скорее всего, предполагается решение или методом Лагранжа или с помощью исследования безусловный на экстремум функции двух переменных.

Otta, геометрически, насколько я понимаю, исходное условие определяет эллипсоид с полуосями a, b, c. Ну, и алгебраические соображения для области определения новой функции тоже ясны. Я не могу понять, почему сведение к задаче с меньшим числом переменных не выявило все точки экстремума. Ведь условие $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le{1}$ включает в себя и точки $(\pm{a};0)$ в том числе. Это, получается, вершины эллипса.

[Otta]

VanDerVan в сообщении #1430350 писал(а):

Я не могу понять, почему сведение к задаче с меньшим числом переменных не выявило все точки экстремума. Ведь условие $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le{1}$ включает в себя и точки $(\pm{a};0)$ в том числе. Это, получается, вершины эллипса.

Потому что Вы этой задачи не решали. Вы искали локальный экстремум функции на всей плоскости. А не на области, ограниченной эллипсом.

[VanDerVan]

Otta, спасибо, я, кажется, осознал. Не уверен, правильно ли понял, но вроде так: у нас была функция трёх переменных $u(x;y;z)$, чьё наибольшее и наименьшее значения, т.е. условные экстремумы, мы искали среди значений функции в точках, удовлетворяющих условию $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$, т.е. среди точек эллипсоида. Когда мы сделали замену переменной, то тем самым свели предыдущую задачу к такой: найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных $f(x;y)$ в области, заданной условием $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le{1}$, т.е. в области, ограниченной эллипсом. Соответственно, если бы мы решали эту новую задачу, то внутри эллипса получили бы точку (0;0), которую я нашёл ранее, а на границе эллипса получили бы точки $(\pm{a};0)$. Находя значения функции $f(x;y)$ в полученных точках внутри и на границе эллипса, и выбирая среди них наименьшее и наибольшее, мы и получим искомый условный максимум и минимум функции $u(x;y;z)$. Примерно так?

[Otta]

VanDerVan в сообщении #1430368 писал(а):

Примерно так?

Да.

-- 15.12.2019, 20:14 --

Pphantom же говорил про решение, для которого вообще не нужны специальные знания, ну кроме по мелочи.
Исследуемая функция - квадрат расстояния до начала координат.
До каких точек эллипсоида расстояние максимально/минимально, задача устная. Да как-то даже на задачу не тянет.

[VanDerVan]

Otta, геометрически я себе это представил :) Но хотел понять именно ошибку в своих рассуждениях. Смотрел ещё в Антидемидовиче - там решали методом Лагранжа.

[Someone]

VanDerVan в сообщении #1430378 писал(а):

Но хотел понять именно ошибку в своих рассуждениях.

Функции $z=\pm\sqrt{c^2-\frac{c^2x^2}{a^2}-\frac{c^2y^2}{b^2}}$ (две штуки, а не одна, как Вы думаете) не дифференцируемы в точках эллипса $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Исключая эти точки из рассмотрения, Вы теряете стационарные точки.