NT

[Navid]

Позвольте $p=1+8k$ быть простым числом. Если

$$\binom{4k}{k} \equiv r \pmod{p}.$$

Докажите, что $r$ не является квадратом натурального числа.

[nnosipov]

Navid в сообщении #1430238 писал(а):

Позвольте $p=1+8k$ быть простым числом. Если

$$\binom{4k}{k} \equiv r \pmod{p}.$$

Докажите, что $r$ не является квадратом натурального числа.

Это неверно. Контрпример: $k=9$ и $r=144$.

[Gagarin1968]

nnosipov в сообщении #1430262 писал(а):

Это неверно.

nnosipov
Так условие же, по-моему, не закончено.

Navid в сообщении #1430238 писал(а):

Если

$$\binom{4k}{k} \equiv r \pmod{p}.$$

Посылка с "если" заканчивается точкой. Если..., то что?

[Navid]

Navid в сообщении #1430238 писал(а):

Позвольте $p=1+8k$ быть простым числом. Если

$$\binom{4k}{k} \equiv r \pmod{p}.$$

Докажите, что $r$ не является квадратом натурального числа.

$$0\leq r\leq p-1$$

[Gagarin1968]

Navid в сообщении #1430272 писал(а):

$$0\leq r\leq p$$

Может быть, всё-таки $0\leqslant r<p$?

[nnosipov]

Gagarin1968 в сообщении #1430263 писал(а):

Так условие же, по-моему, не закончено.

Тем не менее, его можно было понять так, как я понял --- с учетом общей корявости перевода. Кроме того, a priori тот биномиальный коэффициент мог оказаться квадратичным невычетом по модулю $p$, и тогда $r$ не мог бы быть квадратом по очевидной причине. (Мой контрпример как раз показывает, что $r$ --- при правильном дополнительном условии --- не будет квадратом по более тонкой причине.)

А вот и дополнительное условие от ТС.

Gagarin1968 в сообщении #1430274 писал(а):

Может быть, всё-таки $0\leqslant r<p$?

Или, возможно, $|r| \leqslant (p-1)/2$. Хотелось бы, конечно, видеть первоисточник.

[Navid]

nnosipov в сообщении #1430288 писал(а):

Или, возможно, $|r| \leqslant (p-1)/2$. Хотелось бы, конечно, видеть первоисточник.

Если я правильно помню, я заметил эту проблему в китайском журнале. Интересно, сможем ли мы найти элементарное доказательство?

[Gagarin1968]

nnosipov в сообщении #1430288 писал(а):

Или, возможно, $|r| \leqslant (p-1)/2$

Да, скорее всего именно так. Слово за ТС.