Базис

[Матика]

Помогите разобраться, пожалуйста.
Нужно дополнить линейно независимую часть а1,а2 до базиса системы векторов а1,а2,а3,а4,а5,а6 и все векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
а1 = (4,1,3,8), а2 = (7,-1,0,6), а3 = (0,1,1,2), а4 = (1,1,1,3), а5 = (1,0,-2,-1),
а6 = (1,0,1,2).
Мои действия:
1) Попеременно из векторов а1,а2 и плюс перебором еще два вектора составлял матрицу. Но все определители были нулевые. Что - то не так, а метод хорош.
2) Составил матрицу построчно из элементов всех векторов и попробовал привести к треугольной форме. Я на правильном пути?

Добавлено спустя 15 минут 12 секунд:

У меня получилась следующая картинка:
а1 1 1/4 3/4 2
а2 0 1 21/11 32/11
а3 0 0 1 1
а4 0 0 1 1
а5 0 0 -17 -40
а6 0 0 1 1
Не могу сделать вывод. Помогите

[Someone]

Матика писал(а):

Составил матрицу построчно из элементов всех векторов и попробовал привести к треугольной форме. Я на правильном пути?

На правильном. Только не к треугольному виду, а к ступенчатому. И лучше пользоваться преобразованиями столбцов, чтобы потом было легче понять, какие векторы образуют базис (но обычно координаты векторов располагают по столбцам, а матрицу приводят к ступенчатому виду преобразованиями строк; впрочем, это в данном случае совершенно несущественно).

Матика писал(а):

Попеременно из векторов а1,а2 и плюс перебором еще два вектора составлял матрицу. Но все определители были нулевые. Что - то не так, а метод хорош.

Видимо, любые четыре вектора линейно зависимы.

P.S. Для записи формул используйте \TeX. Это несложно (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183). Если будете продолжать нарушать правила, придёт модератор и отправит тему в Карантин.

Добавлено спустя 1 минуту 20 секунд:

Матика писал(а):

Не могу сделать вывод. Помогите

Вы не закончили приведение к ступенчатому виду.

[Матика]

Да. Я специально, чтобы свои сомнения описать. Строки а3 и а5 обнуляются. а5 =(0,0,1,
-40/17). Какие векторы образуют базис? а1,а2,а3?

[Someone]

Матика писал(а):

Какие векторы образуют базис? а1,а2,а3?

А сколько всего ненулевых строк получается?

[Матика]

Я расположил векторы по столбцам и матрицу привел к ступенчатому виду. Вот что получилось $ \left( \begin{array}{cccccc} 4 & 7 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 8 & 6 & 2 & 3 & -1 & 2\end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{ccccccc} {a_1} & {a_2} & {a_3} & {a_4} &{a_5} & {a_6} \\1 & \frac 7 4 & 0 & \frac 1 4 & \frac 1 4 & \frac 1 4 \\ 0 & 1 & \frac 4 3 & 1 & \frac {-1} {3} & \frac {-1} {3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac {11} {16} & \frac {-3} {8} & \frac 3 {16} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac {-22} 5 & \frac {-121} 5\end{array} \right) {a_1},{a_2}, {a_3} $ образуют базис? Затем рассматриваю 1,2,3,4 столбцы - разложение а4 по базису. Так? Будьте добры!

Добавлено спустя 2 часа 54 минуты 20 секунд:

Будьте добры, помогите разобраться в следующем: какие базисные векторы, а какие свободные в первом случае и какие - во - втором?
$ \left( \begin{array}{ccссс} 1 & 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 6 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7\\ \end{array} \right)$

$ \left( \begin{array}{ccсссc} 1 & 1 & 3 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 7 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 7 & 1\\ \end{array} \right)$

[Матика]

С последними двумя матрицами разобрались. Значит у предыдущей матрицы четыре базисных неизвестных, т. е. мы дополнили независимую часть $a_1, a_2$ до базиса системы векторов $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ векторами $a_3,a_4$. А определитель, составленный из элементов этих четырех векторов $a_1, a_2, a_3, a_4$ равен нулю. (???) Что я не понимаю?

[Someone]

Ошибка в вычислениях при приведении матрицы к ступенчатому виду.

[Матика]

Да, пересчитал и получилось:$ \left( \begin{array}{ccссс} 1 & 7/4 & 0 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & 1 & -1/4 & -3/11 & 1/11 & 1/11 \\ 0 & 0 & 1 & -13/10 & 17/20 & -4/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 9/26 & 0 \\ \end{array} \right)$

Добавлено спустя 8 минут 23 секунды:

Далее, число базисных неизвестных - 4, а свободных неизвестных 2. Можно брать свободные - $ x_2, x_5 $ ? Через них выражу остальные неизвестные. А дальше?

[Someone]

Нет. Там ранг всё-таки равен 3, а не 4.

[Матика]

Да, Вы правы, получается
$ \left( \begin{array}{ccсссс} 1 & 7/4 & 0 & 1/4 & 1/4 & 1/4 \\ 0 & 1 & -4/11& -3/11 &1/11 & 1/11 \\ 0 & 0 & 1 & 13/10 & 5/2 & 4/5 \end{array} \right)$
Значит, $x_4,x_5,x_6$ свободные неизвестные, а $x_1,x_2,x_3$ -базисные.

Добавлено спустя 32 минуты 37 секунд:

Теперь нужно разложить каждый из векторов $a_4, a_5,a_6$ по базису. Т. е. решаем сначала систему (раскладываем $a_4$):
$4x_1+7x_2 =1$
$ x_1-x_2-x_3=1$
$3x_1+x_3=1$
$8x_1+6x_2+2x_3=3$ ,а затем тоже самое для $a_5,a_6$ Я на правильном пути?

[Someone]

Но у Вас же система уже приведена к ступенчатому виду. Зачем повторять все вычисления заново?

[Матика]

Т.е. для вектора $a_4$ переменная $x_4=13/10$, для $a_5$ $x_4=5/2$, а для
$a_6$ $x_4=4/5 $ ? Я понимаю, что для каждого вектора расписать все по - порядку? Да?

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Я имел ввиду переменная $x_3$ Ошибся.

[Someone]

Ступенчатая матрица, которую Вы получили, соответстыует системе

$$\begin{cases}x_1+\frac 74x_2=\ldots\text{,}\\ x_2-\frac 4{11}x_3=\ldots\text{,}\\ x_3=\ldots\text{,}\end{cases}$$

а правые части находятся в трёх последних столбцах. Подумайте, почему это так.

[Матика]

Спасибо огромное. Все понял и посчитал.