Неравенство. Математический анализ.

[Norma]

Нужно доказать, что если выполнено соотношение: $\frac{p_{n}}{p_{n+1}}=1+\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^{1+ \varepsilon}})$, $\varepsilon>0$
то имеет место неравенство:
$\frac{p_{n+1}}{p_{n}}>1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n\ln(n)}$

Я рассуждал так:
$\frac{p_{n+1}}{p_{n}}=(1+\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^{1+ \varepsilon}}))^{-1}=1-\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2})$

$O(\frac{1}{n^2})<\frac{C}{n^2}<\frac{C}{n\ln(n)}$, $C>0$, тогда, домножив неравенство на $-1$ и положив $C=1$, получим: $O(\frac{1}{n^2})>-\frac{1}{n\ln(n)}$

Верно ли такое рассуждение?

[svv]

Norma в сообщении #1430088 писал(а):

Нужно доказать, что если выполнено соотношение: $\frac{p_{n}}{p_{n+1}}=1+\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^{1+ \varepsilon}})$, $\varepsilon>0$
то имеет место неравенство:
$\frac{p_{n+1}}{p_{n}}>1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n\ln(n)}$

Для всех $n$? (целых, больших 1)

Это не может быть верно. Ведь $O(\frac{1}{n^{1+ \varepsilon}})$ — это, например, $\frac {1000000}{n^2}$.