Вычисление алгебры когомологий через диагональное вложение

[Nickspa]

Найти клеточное отображение, которое гомотопно диагональному вложению $\mathbb{R}P^2\to \mathbb{R}P^2\times \mathbb{R}P^2$, определить алгебру $H^*(\mathbb{R}P^2)$ над $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{Z}_2$
Когомологии:
Над $\mathbb{Z}$ $H^0(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z},H^1=\mathbb{Z}_2$, остальные $0$
Над $\mathbb{Q}$ $H^0=\mathbb{Q}$, остальные $0$
Над $\mathbb{Z}_2$ $H^0=H^1=H^2=\mathbb{Z}_2$
Не ошибся нигде?
Получается, что интерес представляют лишь произведения $\alpha\cup \alpha$ для $\mathbb{Z}_2$, где $\alpha$ - образующая $H^1(\mathbb{R}P^2)$
Не знаю как найти гомотопное диагональному отображение. На лекции был пример про $S^1$, но он малоинформативен, а в книгах пишут, что искать такое отображение непросто и на этом заканчивают.
Как здесь искать?