Сферический маятник

[pogulyat_vyshel]

Сферический маятник это материальная точка, движущаяся по сфере в стандартном поле силы тяжести. Точка удерживается на сфере силой реакции, которая перпендикулярна поверхности сферы.

Эта система имеет два первых интеграла: сохраняются полная энергия и проекция момента импульса точки относительно центра сферы на вертикальную ось.

Доказать, что эта система не имеет других гладких первых интегралов, функционально независимых с указанными двумя почти всюду в фазовом пространстве.
(Разумеется речь идет о первых интегралах, не зависящих от времени)