A la Ktina (классический арифмост)

[nnosipov]

В десятичной записи числа $2^{29}$ есть все цифры, кроме одной. Какой?

P.S. Решать, разумеется, устно.

[gris]

Ага. Все цифры бы в сумме давали бы сорок пять. То есть степень двойки делится на девять! Это прямо пятиугольник с пятью прямыми углами! Надо выкинуть одну цифру. Ну и считаем на пальцах до двадцати девяти. Вдруг увидим период? Это самая трудная часть решения. На седьмом пальце повтор. С пятого раза получил сорок один.
Теперь надо вычесть сорок один из сорока пяти. Тут уж устно никак

[nnosipov]

gris в сообщении #1429550 писал(а):

На седьмом пальце повтор.

Ну да, только можно было бы не считать, ибо $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$ совершенно бесплатно по теореме Эйлера. Тогда $2^{29} \equiv 2^{-1} \equiv 5 \pmod{9}$. Заметьте, все в уме

[gris]

В мой ум Эйлер не влезает
А если кто помнит первые сто степеней двойки или может с помощью логарифмов в уме посчитать эту степень за секунду -- будет считаться устным решением?

[wrest]

Похоже, что последняя степень двойки, в десятичной записи которой присутствуют не все десять цифр -- $2^{168}$ (в ней нет как раз двойки)
Проверено до $2^{(10^5)}$

[nnosipov]

gris в сообщении #1429555 писал(а):

А если кто помнит первые сто степеней двойки или может с помощью логарифмов в уме посчитать эту степень за секунду -- будет считаться устным решением?

Будет, конечно, но это не совсем спортивно. А вот логарифмическую линейку я бы разрешил (все равно сейчас ею никто не умеет пользоваться).

Кстати, о помещении Эйлера в ум. Можно потренироваться на таком детском примере: найти три последние цифры числа $1997^{1997}$ (где-то я уже это предлагал, но, кажется, ответ так и не был найден/выписан в адекватном виде).

wrest в сообщении #1429557 писал(а):

Похоже, что последняя степень двойки, в десятичной записи которой присутствуют не все десять цифр -- $2^{168}$

Занятно. Можно будет слегка потроллить студентов.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1429561 писал(а):

Занятно. Можно будет слегка потроллить студентов.

Вот вам остальной список для троллинга

(Оффтоп)

$2^{29}$ has no digits:$[4]$
$2^{30}$ has no digits:$[5, 6, 9]$
$2^{31}$ has no digits:$[0, 5, 9]$
$2^{32}$ has no digits:$[0, 1, 3, 5, 8]$
$2^{33}$ has no digits:$[0, 1, 6, 7]$
$2^{34}$ has no digits:$[0, 2, 3, 5]$
$2^{35}$ has no digits:$[0, 1, 2]$
$2^{36}$ has no digits:$[0, 2, 5]$
$2^{37}$ has no digits:$[0, 6]$
$2^{38}$ has no digits:$[1, 3, 5]$
$2^{39}$ has no digits:$[0, 2, 6]$
$2^{40}$ has no digits:$[3, 4, 8]$
$2^{41}$ has no digits:$[4, 6, 7, 8]$
$2^{42}$ has no digits:$[2, 7]$
$2^{43}$ has no digits:$[1, 4, 5]$
$2^{44}$ has no digits:$[3]$
$2^{45}$ has no digits:$[6, 9]$
$2^{46}$ has no digits:$[2, 5, 9]$
$2^{47}$ has no digits:$[6, 9]$
$2^{48}$ has no digits:$[3]$
$2^{49}$ has no digits:$[0, 7, 8]$
$2^{50}$ has no digits:$[3, 7]$
$2^{51}$ has no digits:$[0]$
$2^{52}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{53}$ has no digits:$[3, 6, 8]$
$2^{54}$ has no digits:$[2, 6, 7]$
$2^{55}$ has no digits:$[4, 5]$
$2^{56}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{57}$ has no digits:$[3, 6, 9]$
$2^{58}$ has no digits:$[9]$
$2^{59}$ has no digits:$[1, 9]$
$2^{60}$ has no digits:$[3]$
$2^{61}$ has no digits:$[7]$
$2^{62}$ has no digits:$[5]$
$2^{63}$ has no digits:$[1]$
$2^{64}$ has no digits:$[2]$
$2^{65}$ has no digits:$[5]$
$2^{66}$ has no digits:$[1, 5]$
$2^{67}$ has no digits:$[0]$
$2^{69}$ has no digits:$[4]$
$2^{71}$ has no digits:$[5, 7, 9]$
$2^{72}$ has no digits:$[0]$
$2^{73}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{74}$ has no digits:$[2]$
$2^{75}$ has no digits:$[4]$
$2^{76}$ has no digits:$[0]$
$2^{77}$ has no digits:$[0, 9]$
$2^{78}$ has no digits:$[8]$
$2^{80}$ has no digits:$[3]$
$2^{81}$ has no digits:$[0]$
$2^{83}$ has no digits:$[2]$
$2^{85}$ has no digits:$[4]$
$2^{86}$ has no digits:$[0]$
$2^{90}$ has no digits:$[6]$
$2^{91}$ has no digits:$[1, 3]$
$2^{92}$ has no digits:$[3]$
$2^{93}$ has no digits:$[6]$
$2^{99}$ has no digits:$[9]$
$2^{102}$ has no digits:$[3]$
$2^{107}$ has no digits:$[4]$
$2^{108}$ has no digits:$[9]$
$2^{153}$ has no digits:$[3]$
$2^{168}$ has no digits:$[2]$

Как видно, первая степень двойки, в десятичной записи которой есть все цифры, это $2^{68}$

[nnosipov]

Мерси У меня 31 декабря как раз три лекции, еще не придумал, как буду развлекаться.

[Dmitriy40]

Добавлю по остальным основаниям (основание:первая/последняя степень вхождения всех 10 цифр):

(Оффтоп)

? for(p=2,100,a=0;b=0;for(i=0,1000,d=#Set(digits(p^i));if(d<10,b=i);if(a==0&&d==10,a=i));if(a>0,print(p,":",a,"/",b),print(p,":-/-")))
2:68/168
3:39/106
4:34/84
5:19/65
6:20/64
7:18/61
8:28/56
9:24/53
10:-/-
11:23/41
12:22/51
13:22/37
14:21/34
15:12/34
16:17/42
17:14/27
18:21/25
19:17/44
20:51/168
21:17/29
22:18/24
23:14/50
24:19/23
25:11/29
26:18/31
27:13/28
28:11/28
29:12/45
30:39/106
31:11/28
32:14/18
33:16/24
34:14/34
35:19/18
36:10/32
37:13/25
38:14/17
39:17/41
40:34/84
41:11/23
42:17/19
43:13/20
44:16/29
45:15/39
46:11/32
47:12/15
48:12/29
49:9/16
50:18/65
51:16/29
52:11/29
53:13/30
54:10/18
55:12/17
56:7/33
57:13/19
58:11/31
59:11/27
60:20/64
61:14/26
62:18/19
63:13/24
64:14/28
65:10/17
66:13/15
67:10/21
68:9/25
69:11/13
70:18/61
71:15/25
72:12/39
73:14/17
74:12/19
75:11/19
76:12/21
77:15/24
78:11/19
79:13/30
80:17/56
81:12/26
82:9/25
83:9/19
84:9/27
85:10/17
86:16/25
87:11/23
88:15/23
89:11/32
90:24/53
91:13/23
92:13/22
93:12/16
94:12/18
95:13/26
96:10/20
97:13/24
98:14/20
99:9/21
100:-/-

[Osmiy]

nnosipov в сообщении #1429546 писал(а):

P.S. Решать, разумеется, устно.

В смысле 2 в 29-ую степень устно возводить?

[gris]

[b]nnosipov[/b, я]про $1997^{1997}$. легче устно дать ответ $037$, чем сто раз его набивать в общем, я помню, что три в сотой кончается на два нуля один. три шага назад от двух тысяч: делю тысячу на двадцать семь. Получаю тридцать семь. Учитывая компенсацию двух дополнений до тысячи, это и будет ответом. Не нужен тут этот ваш Эйлер. никак он не помещается.

[nnosipov]

Osmiy в сообщении #1429580 писал(а):

В смысле 2 в 29-ую степень устно возводить?

Нет. Решение см. выше.

gris в сообщении #1429581 писал(а):

в общем, я помню, что три в сотой кончается на два нуля один

Дык, это еще круче, чем Эйлер. У Вас целый Кармайкл в голове (т.е. вместо функции Эйлера используется функция Кармайкла, значения которой, вообще говоря, меньше). А так все правильно.

[gris]

у меня в голове просыпается Майкл Кор<леоне> от арифмостов этих. взять их и сжечь. Ну ладно, хорошо, что ответ сошёлся. А то я уж начал степень устно считать.

[nnosipov]

Следующий номер в нашей программе: найти последние $2017$ цифр степенной башни из $2017$ этажей, каждый этаж равен числу $2017$. Время решения: 3 минуты (мой компьютер быстрее не умеет).

[gris]

А чего Вы на два года отступаете? Я уж лучше решу эту задачу для нового года. За две минуты. Сейчас подумаю...