2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 18:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
В десятичной записи числа $2^{29}$ есть все цифры, кроме одной. Какой?

P.S. Решать, разумеется, устно.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
Ага. Все цифры бы в сумме давали бы сорок пять. То есть степень двойки делится на девять! Это прямо пятиугольник с пятью прямыми углами! Надо выкинуть одну цифру. Ну и считаем на пальцах до двадцати девяти. Вдруг увидим период? Это самая трудная часть решения. На седьмом пальце повтор. С пятого раза получил сорок один.
Теперь надо вычесть сорок один из сорока пяти. Тут уж устно никак :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 19:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
gris в сообщении #1429550 писал(а):
На седьмом пальце повтор.
Ну да, только можно было бы не считать, ибо $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$ совершенно бесплатно по теореме Эйлера. Тогда $2^{29} \equiv 2^{-1} \equiv 5 \pmod{9}$. Заметьте, все в уме :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
В мой ум Эйлер не влезает :-(
А если кто помнит первые сто степеней двойки или может с помощью логарифмов в уме посчитать эту степень за секунду -- будет считаться устным решением?

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 20:13 


05/09/16
9424
Похоже, что последняя степень двойки, в десятичной записи которой присутствуют не все десять цифр -- $2^{168}$ (в ней нет как раз двойки)
Проверено до $2^{(10^5)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 20:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
gris в сообщении #1429555 писал(а):
А если кто помнит первые сто степеней двойки или может с помощью логарифмов в уме посчитать эту степень за секунду -- будет считаться устным решением?
Будет, конечно, но это не совсем спортивно. А вот логарифмическую линейку я бы разрешил (все равно сейчас ею никто не умеет пользоваться).

Кстати, о помещении Эйлера в ум. Можно потренироваться на таком детском примере: найти три последние цифры числа $1997^{1997}$ (где-то я уже это предлагал, но, кажется, ответ так и не был найден/выписан в адекватном виде).

wrest в сообщении #1429557 писал(а):
Похоже, что последняя степень двойки, в десятичной записи которой присутствуют не все десять цифр -- $2^{168}$
Занятно. Можно будет слегка потроллить студентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 20:50 


05/09/16
9424
nnosipov в сообщении #1429561 писал(а):
Занятно. Можно будет слегка потроллить студентов.

Вот вам остальной список для троллинга

(Оффтоп)

$2^{29}$ has no digits:$[4]$
$2^{30}$ has no digits:$[5, 6, 9]$
$2^{31}$ has no digits:$[0, 5, 9]$
$2^{32}$ has no digits:$[0, 1, 3, 5, 8]$
$2^{33}$ has no digits:$[0, 1, 6, 7]$
$2^{34}$ has no digits:$[0, 2, 3, 5]$
$2^{35}$ has no digits:$[0, 1, 2]$
$2^{36}$ has no digits:$[0, 2, 5]$
$2^{37}$ has no digits:$[0, 6]$
$2^{38}$ has no digits:$[1, 3, 5]$
$2^{39}$ has no digits:$[0, 2, 6]$
$2^{40}$ has no digits:$[3, 4, 8]$
$2^{41}$ has no digits:$[4, 6, 7, 8]$
$2^{42}$ has no digits:$[2, 7]$
$2^{43}$ has no digits:$[1, 4, 5]$
$2^{44}$ has no digits:$[3]$
$2^{45}$ has no digits:$[6, 9]$
$2^{46}$ has no digits:$[2, 5, 9]$
$2^{47}$ has no digits:$[6, 9]$
$2^{48}$ has no digits:$[3]$
$2^{49}$ has no digits:$[0, 7, 8]$
$2^{50}$ has no digits:$[3, 7]$
$2^{51}$ has no digits:$[0]$
$2^{52}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{53}$ has no digits:$[3, 6, 8]$
$2^{54}$ has no digits:$[2, 6, 7]$
$2^{55}$ has no digits:$[4, 5]$
$2^{56}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{57}$ has no digits:$[3, 6, 9]$
$2^{58}$ has no digits:$[9]$
$2^{59}$ has no digits:$[1, 9]$
$2^{60}$ has no digits:$[3]$
$2^{61}$ has no digits:$[7]$
$2^{62}$ has no digits:$[5]$
$2^{63}$ has no digits:$[1]$
$2^{64}$ has no digits:$[2]$
$2^{65}$ has no digits:$[5]$
$2^{66}$ has no digits:$[1, 5]$
$2^{67}$ has no digits:$[0]$
$2^{69}$ has no digits:$[4]$
$2^{71}$ has no digits:$[5, 7, 9]$
$2^{72}$ has no digits:$[0]$
$2^{73}$ has no digits:$[1, 8]$
$2^{74}$ has no digits:$[2]$
$2^{75}$ has no digits:$[4]$
$2^{76}$ has no digits:$[0]$
$2^{77}$ has no digits:$[0, 9]$
$2^{78}$ has no digits:$[8]$
$2^{80}$ has no digits:$[3]$
$2^{81}$ has no digits:$[0]$
$2^{83}$ has no digits:$[2]$
$2^{85}$ has no digits:$[4]$
$2^{86}$ has no digits:$[0]$
$2^{90}$ has no digits:$[6]$
$2^{91}$ has no digits:$[1, 3]$
$2^{92}$ has no digits:$[3]$
$2^{93}$ has no digits:$[6]$
$2^{99}$ has no digits:$[9]$
$2^{102}$ has no digits:$[3]$
$2^{107}$ has no digits:$[4]$
$2^{108}$ has no digits:$[9]$
$2^{153}$ has no digits:$[3]$
$2^{168}$ has no digits:$[2]$

Как видно, первая степень двойки, в десятичной записи которой есть все цифры, это $2^{68}$

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 21:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
Мерси :-) У меня 31 декабря как раз три лекции, еще не придумал, как буду развлекаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 21:31 
Заслуженный участник


20/08/14
8835
Россия, Москва
Добавлю по остальным основаниям (основание:первая/последняя степень вхождения всех 10 цифр):

(Оффтоп)

Код:
? for(p=2,100,a=0;b=0;for(i=0,1000,d=#Set(digits(p^i));if(d<10,b=i);if(a==0&&d==10,a=i));if(a>0,print(p,":",a,"/",b),print(p,":-/-")))
2:68/168
3:39/106
4:34/84
5:19/65
6:20/64
7:18/61
8:28/56
9:24/53
10:-/-
11:23/41
12:22/51
13:22/37
14:21/34
15:12/34
16:17/42
17:14/27
18:21/25
19:17/44
20:51/168
21:17/29
22:18/24
23:14/50
24:19/23
25:11/29
26:18/31
27:13/28
28:11/28
29:12/45
30:39/106
31:11/28
32:14/18
33:16/24
34:14/34
35:19/18
36:10/32
37:13/25
38:14/17
39:17/41
40:34/84
41:11/23
42:17/19
43:13/20
44:16/29
45:15/39
46:11/32
47:12/15
48:12/29
49:9/16
50:18/65
51:16/29
52:11/29
53:13/30
54:10/18
55:12/17
56:7/33
57:13/19
58:11/31
59:11/27
60:20/64
61:14/26
62:18/19
63:13/24
64:14/28
65:10/17
66:13/15
67:10/21
68:9/25
69:11/13
70:18/61
71:15/25
72:12/39
73:14/17
74:12/19
75:11/19
76:12/21
77:15/24
78:11/19
79:13/30
80:17/56
81:12/26
82:9/25
83:9/19
84:9/27
85:10/17
86:16/25
87:11/23
88:15/23
89:11/32
90:24/53
91:13/23
92:13/22
93:12/16
94:12/18
95:13/26
96:10/20
97:13/24
98:14/20
99:9/21
100:-/-

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:12 


01/03/13
1842
nnosipov в сообщении #1429546 писал(а):
P.S. Решать, разумеется, устно.

В смысле 2 в 29-ую степень устно возводить?

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
[b]nnosipov[/b, я]про $1997^{1997}$. легче устно дать ответ $037$, чем сто раз его набивать :-( в общем, я помню, что три в сотой кончается на два нуля один. три шага назад от двух тысяч: делю тысячу на двадцать семь. Получаю тридцать семь. Учитывая компенсацию двух дополнений до тысячи, это и будет ответом. Не нужен тут этот ваш Эйлер. никак он не помещается.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
Osmiy в сообщении #1429580 писал(а):
В смысле 2 в 29-ую степень устно возводить?
Нет. Решение см. выше.
gris в сообщении #1429581 писал(а):
в общем, я помню, что три в сотой кончается на два нуля один
Дык, это еще круче, чем Эйлер. У Вас целый Кармайкл в голове (т.е. вместо функции Эйлера используется функция Кармайкла, значения которой, вообще говоря, меньше). А так все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
у меня в голове просыпается Майкл Кор<леоне> от арифмостов этих. взять их и сжечь. Ну ладно, хорошо, что ответ сошёлся. А то я уж начал степень устно считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8255
Следующий номер в нашей программе: найти последние $2017$ цифр степенной башни из $2017$ этажей, каждый этаж равен числу $2017$. Время решения: 3 минуты (мой компьютер быстрее не умеет).

 Профиль  
                  
 
 Re: A la Ktina (классический арифмост)
Сообщение10.12.2019, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
А чего Вы на два года отступаете? Я уж лучше решу эту задачу для нового года. За две минуты. Сейчас подумаю...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group