Казань, Олимпиада им. Н.И.Лобачевского 2019 г.

[provincialka]

ЗАДАЧИ студенческой олимпиады им. Н.И.Лобачевского
Казань, 1 декабря 2019 г.

1. Дан многочлен $x^n-a_1 x^{n-1}-\ldots -a_n$, где все $a_k\geqslant 0$, $\sum a_k >0$. Сколько положительных корней может иметь этот многочлен?

2. Доказать, что для любых векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{w}$ в пространстве $\mathbb R^3$ произведение $\mathbf{v}\cdot ((\mathbf{v} \times \mathbf{w}) \times \mathbf{w})$ не положительно. Когда это произведение равно нулю?

3. Непрерывно дифференцируемая функция $f$, $f\not\equiv 0$, удовлетворяет условию: $f’(x)=f(-x)$ для всех $x\in \mathbb R$. Найти все вещественные нули функции $f$.

4. На плоскости даны два эллипса с одинаковыми осями, касающиеся один другого в вершинах: $\Phi_1$ с уравнением $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ и $\Phi_2$ с уравнением $(x-2a)^2/a^2+y^2/b^2=1$. По каким траекториям будут двигаться фокусы эллипса $\Phi_2$ при качении этого эллипса вокруг эллипса $\Phi_1$?

5. Каждый студент группы из $25$-ти студентов симпатичен не более, чем двум студентам этой группы. Отношение симпатии, вообще говоря, не является симметричным.
a) Доказать, что в группе найдется $5$ студентов, попарно не симпатичных между собой (3 балла).
б) Какое наибольшее количество произвольным образом выбранных студентов можно отчислить, чтобы по прежнему гарантированно нашлись $5$ попарно не симпатичных студентов? (4 балла)

6. Имеется два тела одинаковой массы и одинаковой теплоемкости. Температура первого тела $0^\circ C$, второго $90^\circ C$. Можно ли нагреть первое тело за счёт теплообмена со вторым до температуры $60^\circ C$, если второе тело произвольным образом можно делить на части? Предполагается, что теплообмена с окружающей средой нет, при соприкосновении двух тел с температурами $T_1$ и $T_2$ и массами $m_1$ и $m_2$, их температура мгновенно выравнивается до $T=(T_1m_1+T_2m_2)/(m_1+m_2)$.

7. Доказать неравенство: $\displaystyle \quad \int_0^1 \int_0^1 \frac{xydxdy}{(e^{x-y}+1)^2} \geqslant \frac{1}{16}$.

8. Последовательность целых чисел такова, что $x_0=0$, $|x_n|=|x_{n-1}+1|$ для всех натуральных $n$. Каково наименьшее возможное значение выражения $|x_1+x_2+\ldots+x_{2019}|$?

9. а) Для матриц $B$ и $C$ размера $2\times 2$ проверить, что след матрицы $BC-CB$ равен нулю (2 балла).

б) Доказать, что для любой вещественной матрицы $A$ размера $2\times 2$ с нулевым следом существуют такие вещественные матрицы $B$ и $C$, что $A=BC-CB$ (5 баллов).

Примечания. Следом матрицы называется сумма элементов главной диагонали. Операция $[B,C]=BC-CB$ называется коммутатором $B$ и $C$. Т.о., требуется доказать для матриц $2\times 2$, что след матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является коммутатором. За доказательство существования комплексных матриц $B$ и $C$ в пункте б) -- 4 балла.

10. За круглым столом сидят $n$ ($n>4$) человек. Все они, независимо друг от друга, случайно (с вероятностью $1/2$) выбирают кого-то из своих соседей. Найти: a) среднее количество людей, которых никто не выбрал (2 балла); б) дисперсию этого количества (5 баллов).

Напоминание: если $\mathbb{M} \xi$ -- среднее (математические ожидание) случайной величины $\xi$, то дисперсия $\mathbb{D} \xi$ подсчитывается по формуле $\mathbb{D} \xi= \mathbb{M} (\xi- \mathbb{M} \xi)^2=\mathbb{M} \xi^2-(\mathbb{M} \xi)^2$.

11. Николай начертил две равновеликие фигуры: правильный пятиугольник с прямыми углами при вершинах и правильный треугольник. Чему равны углы при вершинах треугольника?

[nnosipov]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

Николай

А, теперь дошло.

[gris]

11. Это, наверное, утешительная задачка от самого Николая Ивановича
И все её решили, на основании равновеликости, то есть равной площади.
А вдруг он начертил фигуры на разных досках

(шалость)

начало условия мне показалось в пирожковом стиле. Решусь на шалость:
Николай чертил фигуры
но с углами не пошло
главное одна ошибка
там и тут и вдруг дошло

[provincialka]

nnosipov, gris Мы спорили, назвать ли героя Колей или Николаем Ивановичем. Пришли к компромиссу. Разумеется, ее не решили, но некоторые догадались, что это

(Оффтоп)

геометрия Лобачевского

Вообще мы, кажется, переусердствовали со сложностью: большинство не решили ничего, есть работы с половинкой или одной задачей... И только команда Физтеха набрала приличное число баллов (118 на 5 лучших результатов, из $7\cdot 11\cdot5 = 385$ возможных)

[nnosipov]

provincialka в сообщении #1429536 писал(а):

Разумеется, ее не решили

Что поделать, где сейчас изучают такие вещи Но вы просто обязаны были дать такую задачу, ибо замечательные традиции надо поддерживать.

В общем, задача мне понравилась "Коля" было бы слишком фамильярно, а "Николай Иванович" --- слишком прямолинейно. А так я с удовольствием протупил несколько минут.

[pogulyat_vyshel]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

На плоскости даны два эллипса с одинаковыми осями, касающиеся один другого в вершинах: $\Phi_1$ с уравнением $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ и $\Phi_2$ с уравнением $(x-2a)^2/a^2+y^2/b^2=1$. По каким траекториям будут двигаться фокусы эллипса $\Phi_2$ при качении этого эллипса вокруг эллипса $\Phi_1$?

не по окружностям ли часом?

-- 10.12.2019, 20:44 --

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

Непрерывно дифференцируемая функция $f$, $f\not\equiv 0$, удовлетворяет условию: $f’(x)=f(-x)$ для всех $x\in \mathbb R$. Найти все вещественные нули функции $f$.

$f=const\cdot(\cos x+\sin x)$

-- 10.12.2019, 20:54 --

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

Доказать, что для любой вещественной матрицы $A$ размера $2\times 2$ с нулевым следом существуют такие вещественные матрицы $B$ и $C$, что $A=BC-CB$ (5 баллов).

как я понимаю двумерные матрицы с нулевым следом вещественно сопряжены либо

$$const\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

либо

$$const\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

либо

$$const\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

-- 10.12.2019, 20:58 --

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

Доказать, что для любых векторов $\mathbf{v}$ и $\mathbf{w}$ в пространстве $\mathbb R^3$ произведение $\mathbf{v}\cdot ((\mathbf{v} \times \mathbf{w})
\times \mathbf{w})$ не положительно. Когда это произведение равно нулю?

бац-цаб и неравенство Коши

-- 10.12.2019, 21:00 --

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

Доказать неравенство: $\displaystyle \quad \int_0^1 \int_0^1 \frac{xydxdy}{(e^{x-y}+1)^2} \geqslant \frac{1}{16}$.

за счет симметрии свести дело к интегрированию по треугольнику

[provincialka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1429551 писал(а):

бац-цаб и неравенство Коши

сложно! достаточно сделать циклическую перестановку в смешанном произведении.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

$f’(x)=f(-x)$ для всех $x\in \mathbb R$.

Ну да, еще раз продифференцировать и затем решить.

[DeBill]

pogulyat_vyshel в сообщении #1429551 писал(а):

не по окружностям ли часом?

Эллипсы равны, и (поначалу) симметричны оносительно общей касательной. "Каченость" обещает их симметричность относительно общей касательной и в будущем. Луч света, идущий из фокуса в точку касания, после отражения (от общей касательной, являющейся и осью симметрии) попадает в другой фокус того же эллипса (и пройденный путь при этом будет равен большой оси). Значит, если б отражения не было, он бы (за то же время) как раз и прибыл бы в фокус второго эллипса. Так что, да - по окружностям с центрами в фокусах неподвижного, и радиуса, равного большой оси.

-- 11.12.2019, 01:15 --

6. Нет, потому что $3>e$...

[DeBill]

8. У меня получилось 42. Кто меньше?

-- 11.12.2019, 02:17 --

1. Один корень точно есть, ибо $P(+0)<0, P(+\infty) >0$.
Число перемен знаков равно 1, так что их и не больше один...
Но можно и кустарно: индукция по $n$.
По предположению индукции, $P'$ имеет один положительный корень $x_0$. Сравнивая $\frac{xP'(x)}{n}$ и $P(x)$, видим, что $P(x_0)<0$. Значит, левее $x_0$ корней положительных нет, а правее - есть, причем ровно один.

-- 11.12.2019, 02:44 --

5. Ну, четверых спокойно можно выгнать, и даже деканат не заругает (ха, 16 процентов....).
Ну, типа (для 21): есть Студент, симпатизирующий не более двум; он также симпатичен не более двум; уроем всех этих не более пятерых во главе со Студентом . С оставшимися поступим также, и т.д. Искомую пятерку и составят Студенты...
Для 20 есть пример: четыре пятерки; в каждой пятерке студент любит двух следующих ("по кругу").
Тогда в компанию несимпатичных студентов из каждой пятерки попадет не более одного....

-- 11.12.2019, 02:53 --

10. Ну, матожидание - легко: сосчитаем среднее количество меня, которого никто не выбрал. Ясно, что оно равно вероятности не выбрать меня, т.е., равно четверти (меня?). Значит, все матожидание равно $\frac{n}{4}$...
Но вот с дисперсией - неужели считать распределение?

[EtCetera]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

6. Имеется два тела одинаковой массы и одинаковой теплоемкости. Температура первого тела $0^\circ C$, второго $90^\circ C$. Можно ли нагреть первое тело за счёт теплообмена со вторым до температуры $60^\circ C$, если второе тело произвольным образом можно делить на части? Предполагается, что теплообмена с окружающей средой нет, при соприкосновении двух тел с температурами $T_1$ и $T_2$ и массами $m_1$ и $m_2$, их температура мгновенно выравнивается до $T=(T_1m_1+T_2m_2)/(m_1+m_2)$.

Есть ощущение, что $T_2$ по условию должно было быть равно $100^\circ$, чтобы на поставленный вопрос был утвердительным и вызывал когнитивный диссонанс.

(Ответ)

Если ничего не напутал, максимум, до которого можно нагреть первое тело, равен

$$T_1^{\max}=T_1+T_2\left(1-\frac{1}{e}\right)$$

[RIP]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

1. Дан многочлен $x^n-a_1 x^{n-1}-\ldots -a_n$, где все $a_k\geqslant 0$, $\sum a_k >0$. Сколько положительных корней может иметь этот многочлен?

Классика. $x^nP(1/x)$ убывает при $x>0$ от $1$ до $-\infty$.

[svv]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

б) Доказать, что для любой вещественной матрицы $A$ размера $2\times 2$ с нулевым следом существуют такие вещественные матрицы $B$ и $C$, что $A=BC-CB$ (5 баллов).

Матрицу $A$ можно представить в виде $A=\begin{bmatrix}a_x&a_z\\a_y&-a_x\end{bmatrix}$.
Возьмём $B=\begin{bmatrix}b_x&b_y\\b_z&0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_x&c_y\\c_z&0\end{bmatrix}$. Теперь $A=BC-CB$ сводится к
$\begin{cases}a_x=b_y c_z-b_z c_y\\a_y=b_z c_x-b_x c_z\\a_z=b_x c_y-b_y c_x\end{cases}$
Интерпретируем эти буковки как декартовы компоненты векторов $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ в $\mathbb E^3$, тогда система равносильна $\mathbf a=\mathbf b\times \mathbf c$.
Задача свелась к следующей: показать, что любой вектор в $\mathbb E^3$ можно представить в виде векторного произведения двух векторов.

[Dendr]

EtCetera в сообщении #1429612 писал(а):

Есть ощущение, что $T_2$ по условию должно было быть равно $100^\circ$, чтобы на поставленный вопрос был утвердительным и вызывал когнитивный диссонанс.

Так и при отрицательном ответе диссонанс все равно возникнет. Почти 57 градусов - уже удивляет на обывательском уровне.
Кстати, лучше 95.

(Оффтоп)

P.S. Очевидно, что ошибочка или опечатка все-таки вкралась (просто в данном случае она оказалась незаметна) - просто подставьте равные температуры и увидите.
Верная формула: $T_1/e+T_2(1-1/e)$.

[svv]

provincialka в сообщении #1429525 писал(а):

11. Николай начертил две равновеликие фигуры: правильный пятиугольник с прямыми углами при вершинах и правильный треугольник. Чему равны углы при вершинах треугольника?

Дефект пятиугольника (в смысле недостатка суммы его внутренних углов до $3\pi$) равен $3\pi-5\frac{\pi}2=\frac{\pi}2$. Легко показать, что этот дефект равен дефекту треугольника такой же площади. Значит, сумма углов того конкретного правильного треугольника равна $\frac{\pi}2$, а каждый угол равен $\frac{\pi}6$.