Свойство начального отрезка натурального ряда

[gris]

Размышления по мотивам школьной задачки.
Возьмём множество первых $2n$ натуральных чисел и выделим из него подмножество из $n$ чисел так, что оно не содержит в себе одновременно два числа, в сумме составляющие $2n+1$. Очевидно, можно получить $2^n$ различных подмножества.
Например: $\{1,2,3,4\}\to \{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}$. Посчитаем в каждом подмножестве сумму чисел и сумму квадратов чисел. В нашем примере это $3,7,4,6$ и $5,25,10,20$. С возрастанием $n$ суммы будут катастрофически повторятся по принципу Дирихле. И мы увидим, что если у двух подмножеств равны суммы чисел, то равны и суммы квадратов
Пример: $\{1,2,...10\}\to \{1,2,5,7,8\},\{1,3,4,6,9\}$. Сумма в обоих подмножествах $23$, сумма квадратов $143$.
Это совсем несложно доказать с помощью формул сумм первых $2n$ натуральных чисел, а также их квадратов. Но не имеется ли тут более простого и основополагающего свойства чисел? Или просто тривиального и всем известного?

[DeBill]

gris
Пусть $k+k' = S$, $S=2n+1$. В каждое подмножество мы включаем либо $k$, либо $k'$.
Но $k'^2-k^2 =(k'-k)(k'+k)=S(k'-k). $
Так что изменение суммы квадратов чисел в подмножестве прямо пропорционально изменению сумм чисел.
Так что это свойство не начального отрезка натряда, а любого набора пар с постоянной (в парах) суммой...
Видимо....

[alisa-lebovski]

Последовательность Морса-Туэ.