Аффинная функция

[Sdy]

В качестве области определения всех рассматриваемых функций берётся $\mathbb{R}^n$, в качестве области значений - $R$.
Функция $f$ называется аффинной, если $\forall x$ её можно представить в виде $f(x)=g(x)+b$, где $g$ - линейная функция (то есть однородная и аддитивная $\forall x \wedge y$), $b$ - некоторая константа. Я умею доказывать что $\exists ! a : \forall x, g(x) = a^Tx$, тогда $f$ аффинна, если $\forall x \exists ! a : f(x)=a^Tx+b$.
Меня просят показать, что верно следующее утверждение.
Утверждение.$f$ - аффинна $\Leftrightarrow$ $\forall x,y \in \mathbb{R}^n, \forall a,b \in \mathbb{R} : a + b = 1, f(ax+by) = af(x)+bf(y)$.
Вопрос.
В сторону $\Rightarrow$ оно доказывается просто.
А вот $\Leftarrow$ никак не получается. Верно ли это вообще?
Просто мне, получается, нужно из этого свойства вывести, что такую функцию можно разложить в сумму линейной функции и константы. Но здесь нет никакой аддитивности (кроме как для двух переменных с константами, подчиняющимися требованиям выше) и поэтому у меня не получается придти к чему-то осмысленному.
Здесь нужны какие-то более продвинутые факты или я просто невнимателен?

[Otta]

Sdy
Тут важно понять, что есть такое эта самая константа.
Написать конкретную аффинную функцию, скажем, одной переменной. Что такое $c$ в записи $f(x)=g(x)+c$, как его немедленно получить, зная исходную функцию?
Продвинутых фактов не надо, надо вот это понять, а потом покомбинировать немного и покудесничать с определением и утверждением теоремы.
Оно верно.

PS Дополнительные факты не нужны.

[Sdy]

Otta, спасибо за ответ.
Если $g$ - линейная функция, то $g(0)=0$, так как предположив обратное мы бы получили, что $g(0)=g(0)+g(0)$, что верно только если $g(0)=0$.
И тогда получаем, если $\exists g, b : \forall x, f(x)=g(x)+b$, то $b = f(0)$.
Тогда нужно доказать, что $f(x)$ раскладывается на сумму линейной функции и своего значения в нуле.
Пока что не понял, как мне это помогает.
Не получается во благо использовать тот факт, что $f(ax+by)=af(x)+bf(y) \forall x,y, a,b:a+b=1$.

[pogulyat_vyshel]

Покажем, что отображение $F(x)=f(x)-f(0)$ линейно

1) $F(\lambda x)=F(\lambda x+(1-\lambda)0)=\lambda f(x)+(1-\lambda) f(0) -f(0)=\lambda F(x)$
2) $F(x+y)=F((2x)/2+(2y)/2)=?$

[Sdy]

Докажем, что $f(x)-f(0)=g(x)$ - линейная функция.
Для начала покажем, что она однородна:
$g(ax)=f(ax)-f(0)=f(ax+(1-a)0)-f(0)=af(x)-af(0)=ag(x)$.
Покажем, что она аддитивна:
$g(x+y)=2g(\frac{1}{2}(x+y))=2f(\frac{1}{2}(x+y))-2f(0)=f(x)+f(y)-2f(0)=g(x)+g(y)$.
И мы получили желаемое.

-- 10.12.2019, 02:02 --

pogulyat_vyshel, спасибо, уже после того как написал увидел Вашу подсказку.