Об эллиптических элементах группы

[Evgenii2012]

Дорогие друзья ! Хотел бы разобраться в двух следующих вопросах: 1) Предположим, $f(z)=e^{i\theta}\frac{z-z_0}{1-z\overline{z_0}},$ $z_0\in {\Bbb D}$ -- дробно линейный автоморфизм единичного круга на себя. Вопрос: может ли иметь отображение $f$ неподвижную точку внутри круга ${\Bbb D},$ если $\theta\ne 0$ и одновременно $z_0\ne 0$ (т.е., может ли оно быть эллиптического типа ?) 2) Аналогичный вопрос в пространстве: пусть отображение в единичном шаре ${\Bbb B}^n=\{x\in {\Bbb B}^n: |x|<1\}$ имеет вид $g(z)=(U\circ g_a)(z),$ где $U$ -- некоторое ортогональное преобразование, а $g_a$ -- мёбиусово, таково что $g_a(a)=0,$ $g(a/|a|^2)=\infty.$ (См., напр., книгу Апанасов Б.Н., Геометрия дискретных групп и многообразий. - М.:ФИЗМАТГИЗ, 1991, стр.11). Вопрос: существуют ли такие значение $a\ne 0,$ $U\ne I$ и $z\in {\Bbb B}^n,$ $n\geqslant 2,$ для которых $g(z)=z$ ? Буду благодарен Вам за Ваше мнение !

[DeBill]

Evgenii2012
1. Ну, единичный круг (замкнутый) отображается на себя, так что неподвижная точка всегда есть; вопрос только в том - внутри круга она, или на границе?
Ну, круг - не всегда самая удобная модель; иногда удобнее работать с верхней полуплоскостью (а там общий автоморфизм - это элемент из $SL(2,\mathbb{R})$ (почти)). Тупо выписываем условие неподвижности точки, получаем квадратное уравнение, считаем евоный дискриминант; в случае его положительности - неподвижные точки на границе, отрицательности - один внутре, другой - снаружи (равенство нулю соответствует параболическому элементу). Ну, и видим: всякое бывает....

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ