Аппроксимация окружностью

[Icarus]

В учебниках физики любят аппроксимировать бесконечно малые элементы функции окружностью, но как-то не любят говорить почему так можно делать. Так вот, почему именно окружность, а не прямая или парабола. Всегда ли это будет работать?

[Eule_A]

Работать будет всегда, когда существует соприкасающаяся окружность в соответствующей точке. При таком приближении удобно с составляющими ускорения разбираться, так как радиус кривизны налицо.

[Icarus]

Eule_A в сообщении #1429151 писал(а):

Работать будет всегда, когда существует соприкасающаяся окружность в соответствующей точке.

А как мне узнать, что она будет существовать?

Eule_A в сообщении #1429151 писал(а):

При таком приближении удобно с составляющими ускорения разбираться, так как радиус кривизны налицо.

Ну да, это понятно, просто показалось как-то притянуто, мол нам нужен радиус кривизны, а он хорошо виден на окружности, поэтому будет аппроксимировать окружностью.

[pogulyat_vyshel]

Окружность приближает гладкую кривую в точке с точностью до малых третьего порядка. Этого достаточно для вычисления ускорений например. Но сам по себе метод аппроксимации окружностью/ работает далеко не всегда и надо четко понимать когда его можно применять, а когда нельзя. В конечном счете все равно придется выучить анализ и тогда этот костыль просто не понадобится.

[Eule_A]

Icarus в сообщении #1429152 писал(а):

А как мне узнать, что она будет существовать

Открыть учебник дифференциальной геометрии и ознакомиться с условиями.

Icarus в сообщении #1429152 писал(а):

показалось как-то притянуто, мол нам нужен радиус кривизны, а он хорошо виден на окружности, поэтому будет аппроксимировать окружностью.

Так половина математики притянутой может показаться

[DeBill]

Icarus

Icarus в сообщении #1429149 писал(а):

аппроксимировать бесконечно малые элементы функции

Ну, давайте обсудим вопрос об аппроксимации (неприличные в обществе (математиков) слова я зачеркнул).
Функцию можно и нужно апп-ть чем-нибудь простым. Одним из наиболее простых объектов являются многочлены (и чем ниже степень - тем они проще). Вопрос об ап-ции ф-ции многочленами вполне себе решен: хорошую ап-цию дают многочлены Тейлора. Ограничиваясь многочленом Тейлора первой степени, получим "ап-ю прямой", второй степени - "параболой" (но: рогами вверх), и т.д. (качество ап-ции - равное показателю $n$ в асимптотической формуле $f(x) - f_{app}(x) = o((x-a)^n), x\to a$ при этом будет, конечно, разным )
Можно изменить постановку задачи, и заниматься ап-ей ГРАФИКА функции (и вообще, гладкой кривой), и ап-ть его (ее) какой-нить "простой" кривой. С точки зрения кривой, все (ортогональные) системы координат равноправны; но - для разных систем - Тейлоровская ап-я второго порядка будет давать параболы с "рогами " в разных направлениях, что не есть удрбно. Вместе с тем, есть достаточно "простая" кривая, также дающая ап-ю второго порядка, и "одинаковая" во всех коррдинатных системах...Вот ее и используют. У нее есть и еще одно достоинство: понятие "радиус кривизны кривой" имеет тут естественный смысл: это и есть радиус "соприкасающейся окружности".
Ого, уже сколько написали. Ну, ладно, и мои 5 коп пусть тоже будут..

[Icarus]

DeBill
О, спасибо за развернутый ответ. Только как мне показать, что эта

DeBill в сообщении #1429155 писал(а):

достаточно "простая" кривая, также дающая ап-ю второго порядка, и "одинаковая" во всех коррдинатных системах

правда дает ап-ю нашего графика функции? Я думал нашу функцию можно задать параметрически, а потом разложить с точностью до малых третьего порядка и из получившегося соорудить уравнение окружности, но это видимо не то...

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1429155 писал(а):

"одинаковая" во всех коррдинатных системах..

любая кривая так же одинакова без кавычек во всех координатных системах как и окружность. Кривая это геометрический объект ,ей на координатные системы плевать

[DeBill]

pogulyat_vyshel в сообщении #1429157 писал(а):

любая кривая так же одинакова без кавычек во всех координатных системах как и окружность. Кривая это геометрический объект ,ей на координатные системы плевать

Ну, собственно, непосредственно перед этой фразой я это же и написал. Но: "одинаковость" в кавычках означала (что можно понять из контекста), что, при построении аппроксимирующей кривой (выбирая ее из некоторого фиксированного класса кривых, и используя для ее выбора алгоритм, привязанный к выделенной системе координат - как это было рассмотрено выше на примере апп-ции параболой, построяемой по Тейлору ) , для класса "окружности" одинаковость таки будет.

[svv]

Icarus в сообщении #1429156 писал(а):

Только как мне показать, что эта

DeBill в сообщении #1429155 писал(а):

достаточно "простая" кривая, также дающая ап-ю второго порядка, и "одинаковая" во всех координатных системах

правда дает ап-ю нашего графика функции? Я думал нашу функцию можно задать параметрически, а потом разложить с точностью до малых третьего порядка и из получившегося соорудить уравнение окружности, но это видимо не то...

Из Вики (статья Дифференциальная геометрия кривых):

Цитата:

особое значение имеет так называемая естественная параметризация, когда параметром служит длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.
Среди преимуществ такой параметризации:
1. $\mathbf r'$ имеет единичную длину и поэтому совпадает с ортом касательной.
2. $\mathbf r''$ по длине совпадает с кривизной, а по направлению — с главной нормалью.

Для интересующей Вас точки $A$ на кривой выберем окружность, которая проходит через $A$ и имеет в этой точке ту же касательную, направление нормали и кривизну, что и кривая. Будем использовать естественную параметризацию и для кривой, и для окружности.
Кривая при некотором значении параметра пройдёт через $A$.
Окружность при (другом) значении параметра тоже пройдёт через $A$.
По-моему, из цитаты очевидно, что при этих значениях у кривой и окружности совпадут не только $\mathbf r$, но и $\mathbf r'$ и $\mathbf r''$.

Аппроксимировать окружностью до второй производной не получится, если у кривой в $A$ нулевая кривизна. Тогда вместо окружности надо взять прямую.

[Icarus]

svv
ОК, спасибо.

[arseniiv]

А уже упомянули, что — как минимум исторически, хотя вроде и сейчас тоже, или я пропускаю случаи, когда не работает — кривизна и определялась как обратный радиус касающейся окружности. Нет окружности — нет кривизны, есть — есть. (Ну и прямую считать окружностью бесконечного радиуса.) Так что радиус кривизны не «хорошо виден» на касающейся окружности, это по такому определению и есть её радиус, так что совершенно естественно её искать.

[Someone]

Icarus, советую всё-таки почитать учебник по математическому анализу. Бог с ней, с дифференциальной геометрией, это для Вас будет как пушка для стрельбы по воробьям. Например, можно взять первый том трёхтомника Г. М. Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления" или первый том двухтомника Н. С. Пискунова "Дифференциальное и интегральное исчисления". У Фихтенгольца это глава седьмая (только для плоских кривых), у Пискунова — главы шестая (для плоских кривых) и девятая (для пространственных кривых). Зато у Фихтенгольца про касание кривых и про соприкасающийся круг объясняется.

[Icarus]

Someone
Да я уже, только в моем учебнике мат. анализа про это что-то не написано, либо проглядел... Хорошо, попробую Фихтенгольца, спасибо.