Условие задачи:
Найдите для правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF:
а)расстояние от вершины A до плоскости SEF и угол между ребром SA и плоскостью SEF,если AB =a,SA=b
б)наибольшое возможное значение угла между ребром SA и плоскостью SEF
Решение.
Пусть K и M - середины EF и BC соответственно, O - середина KM. Очевидно, расстояние h от A до SEF равно расстоянию от O до SEF. OK=a*sin(pi/3) По теореме Пифагора имеем: SK*SK=b*b-(a/2)*(a/2), и соответственно OS*OS=SK*SK-OK*OK=b*b-a*a. Площадь прямоугольного треугольника SOK равна с одной стороны OS*OK/2, а с другой h*SK/2. Привавнивая эти выражения, находим, что h=a*(корень из 3)/2*(корень из (b*b-a*a))/(корень из (b*b-a*a/4)). Соответственно угол между ребром SA и плоскостью SEF равен arcsin(h/b)=arcsin(a/b*(корень из 3)/2*(корень из (1-(a/b)*(a/b)))/(корень из (1-(a/b)*(a/b)/4))). Это функция переменной x=(a/b)* (a/b), причем x<1 из построения; найдем ее максимум, точнее максимум sin этого угла. У меня получилось, что производная равна (4*x*x-32*x+16)/(4-x)/(4-x) и, соответственно, один нуль, который меньше 1: x=4-2*(корень из 3) и максимальный угол равен arcsin(21-12*(корень из 3)).
Извиняюсь,что написано немного не по правилам форума.Просто торопился
