Удаление Луны от Земли

[sergey zhukov]

Известно, что Луна удаляется от Земли со скоростью примерно 4 см/год из-за рассеивания энергии системы "Луна-Земля" на приливном взаимодействии.

При медленном увеличении радиуса орбиты $R$ эволюцию системы можно рассматривать, как последовательность круговых орбит, для которых интеграл энергии $\frac{U^2}{2}-\frac{G(M+m)}{R}=-\frac{G(M+m)}{2R}$ отрицателен и медленно увеличивается за счет преобразования энергии собственного вращения Луны и Земли в орбитальную энергию (параллельно с рассеиванием ее части на приливном взаимодействии). Может ли приливное взаимодействие сделать интеграл энергии положительным, т.е. превратить орбиту Луны в гиперболическую?

Энергия собственного вращения Земли порядка $10^{29}$ Дж, то же для Луны - $10^{23}$ Дж. Энергия вращения одной только Земли, если полностью преобразовать ее в орбитальную, делает интеграл энергии положительным, т.е. энергетически есть потенциал для бесконечного удаления Луны от Земли. Вопрос в том, какая часть этой энергии будет рассеяна на приливах, а какая - перейдет в орбитальную? Способно ли вообще приливное взаимодействие двух тел оторвать одно из них от другого?

Если вместо Луны взять жесткое тело с ярко выраженной не сферичностью (например, гантеля), обладающее достаточным собственным вращением (сонаправленным с орбитальным), то такая гантеля будет двигаться по хаотической орбите. Энергия орбитального и собственного вращения будут обратимо перетекать друг в друга, пока случайно не произойдет переход гантели на гиперболическую орбиту. Для жестких несферических тел все более-менее понятно - отрыв возможен.

Для тел, не сферичность которых определяется только приливными силами, это не так очевидно. Здесь http://www.spacephys.ru/prilivnaya-evol ... emlya-luna приведен несложный расчет приливной эволюции орбиты Луны и получено, что радиус орбиты Луны должен увеличиваться от времени примерно как $t^\frac{1}{6}$. Т.е. Луна не оторвется от Земли, но радиус ее круговой орбиты будет возрастать неограничено. Правда, в этих расчетах заранее предполагается, то орбита Луны всегда круговая.

Численный эксперимент, в котором Луна и Земля представлены, как системы нескольких массивных точек, соединенных пружинами с демпферами, показывает, что такая система быстро переходит на круговую орбиту, синхронизирует собственные вращения планет с орбитальным и достигает равновесия на орбите конечного радиуса.

Из этих результатов не совсем понятно, что же действительно может произойти с Луной?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Похоже, после зверского самовыпиливания ktina, знамя Флеймогенератора не осталось лежать в пыли...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»

-- 29.12.2019, 23:25 --

Момент импульса системы сохраняется. Отсюда совершенно тривиально оценивается изменение полной механической энергии системы как функция радиуса орбиты (или периода, или еще чего-нибудь), из чего немедленно воспоследует ответ на интересующий вас вопрос. За прошедшее время это можно было попросту нагуглить, не говоря уж о чем-то большем...

На выкладки по ссылке смотреть не стоит: их автор тут в свое время обретался и, похоже, так ничего и не понял.

[sergey zhukov]

Pphantom в сообщении #1432577 писал(а):

Момент импульса системы сохраняется. Отсюда совершенно тривиально оценивается изменение полной механической энергии системы как функция радиуса орбиты

Если заранее предполагать, что орбита Луны всегда остается почти круговой, то из одного только сохранения момента импульса системы независимо от ее начальной энергии мы можем получить всегда конечный радиус равновесной орбиты (на которой все вращения синхронизированы). Однако момент импульса системы может сохраняться и при переходе с круговой орбиты на гиперболическую. По моему, это не исключено, если замена спиральной орбиты на круговую перестанет быть хорошим приближением.

[Pphantom]

sergey zhukov в сообщении #1432584 писал(а):

По моему, это не исключено, если замена спиральной орбиты на круговую перестанет быть хорошим приближением.

Вам надо было выбраться из карантина для того, чтобы это кому-то сообщить?

[Утундрий]

Не исключено, что если луна станет испускать газов, то её орбита приобретёт некую спиралевидность.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1429110 писал(а):

например, гантеля... такая гантеля будет двигаться...

Физики говорят не "гантеля", а "гантель".

[sergey zhukov]

Допустим, индекс 1 - Земля, 2 - Луна. Если $R$ - расстояние Луна-Земля, $m$ - масса, $E$ - энергия (полная орбитальная для Луны и собственного вращения - для Земли), $L$ - момент импульса (орбитальный для Луны и собственного вращения - для Земли), то движение Луны относительно Земли будет:

$$(\frac{dR}{dt})^2=2\frac{E_2}{m_2}+2\frac{G(m_1+m_2)}{Rm_2}-\frac{L^2_2}{m_2^2R^2}$$

$$\frac{d\varphi}{dt}=\omega_2$$

Предположим, приливной момент сил равен $M=\frac{K}{R^n}$, где $K$ характеризует скорость диссипации полной энергии системы, а показатель $n$ можно менять.

Если $\omega$ - угловая скорость, а $I_1$ - момент инерции Земли, тогда:

$$\frac{dE_1}{dt}=-M\omega_1 \;\;\;\;\;\; \frac{dE_2}{dt}=M\omega_2 \;\;\;\;\;\; \omega_1=\frac{L_1}{I_1} \;\;\;\;\;\; \omega_2=\frac{L_2}{R^2}$$

$$L_1=\sqrt{2I_1E_1} \;\;\;\;\;\; L_2=L_{10}+L_{20}-L_1$$

Численное решение дает для разных $n$ такую орбиту:

Вопрос о том, может ли Луна перейти на параболическую орбиту, по моему сводится к тому, к какому пределу стремится отношение радиальной скорости Луны к тангенциальной, т.е. к чему стремится отношение:

$$\frac{\frac{dR}{dt}}{\omega_2R}$$

Во всех трех случаях оно стремится к нулю, т.е. отрыв Луны невозможен. Хотя постоянное действие приливного момента $M=\frac{K}{R^n}$ должно привести к неограниченному росту $R$, приливной момент не может описываться этой зависимостью для всех $R$. Момент следует скачком положить равным нулю в точке синхронного состояния, когда $\omega_1=\omega_2$ или использовать более точную формулу.

[sergey zhukov]

Если рассмотреть орбиту твердой гантели, имеющей собственное вращение, сонаправленное с орбитальным, то орбита получается хаотичной. А если вращение гантели противоположно орбитальному - то получается прецессирующий эллипс:

Почему?

[bondkim137]

Было же. Мне ликбез проводили: приливное трение не сказывается на предельном радиусе орбиты, оно лишь влияет на скорость сходимости к нему; потерять спутник невозможно.

[sergey zhukov]

Я так и понял.
Мне было неясно два вопроса:

1. Может ли Луна перейти на гиперболическую орбиту еще до того, как она достигнет равновесной круговой орбиты? Мне кажется, если пользоваться только законом сохранения момента импульса, решение этого вопроса не очевидно.
2. При любом $n$ в законе приливного момента получается, что радиус орбиты Луны должен возрастать неограничено, что не согласуется с тем же законом сохранения момента импульса.

Ответы получились такие:

1. При любом $n$ орбита Луны - это спираль, для которой $\frac{dR}{Rd\varphi}$$\to0$, т.е. c течением времени она все ближе и ближе к окружности. Это происходит даже тогда, когда спираль расходится, как в случае $n=1$. Пограничный случай - логарифмическая спираль, для которой $\frac{dR}{Rd\varphi}=\operatorname{const}$, но так быстро спираль орбиты Луны не расходится ни для какого $n$. Поэтому в будущем орбита Луны будет отличаться от круговой все меньше и меньше. В пределе она может быть только круговой, радиус которой можно вычислить, исходя только из закона сохранения момента импульса.

2. Зависимость приливного момента от $R$ вида $M\sim\frac{1}{R^n}$ дается в предположении, что угол запаздывания приливного горба не зависит от относительной скорости вращения Земли и Луны. Он предполагается неизменным даже тогда, когда достигается синхронное состояние и этот угол заведомо должен быть нулевым. Т.е. где-то вблизи синхронной орбиты приливной момент должен начать падать гораздо быстрее, чем $\frac{1}{R^n}$. Любая спиральная орбита, даже изначально расходящаяся, в этой области становится сходящейся. В первом приближении можно считать, что приливной момент скачком становится нулевым, когда достигается синхронное состояние.