2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Порождение конечной алгебры
Сообщение06.12.2019, 13:38 


07/08/16
328
Возникла проблема с доказательством одного из пунктов леммы из учебника Коралов, Синай, "Теория вероятностей и случайные процессы". Данный пункт, видимо считается очевидным, так как представляется в виде некой "данности".
Ниже привожу лемму и свой вопрос.
Лемма 1.3.
Если алгебра $g$ конечна, то существуют такие непустые множества $B_1,...,B_m \in g$, что
1)$B_i \cap B_j = \varnothing i \ne j$.
2)$\Omega = \bigcup\limits_{i=1}^{m}B_i$
3)Для каждого множества $C \in g$ существует такое множество $I \subseteq \{1,...,m\}$, что $C = \bigcup\limits_{i \in I}B_i$. (положим $C = \varnothing$ при $I = \varnothing$).
Доказательство.
Занумеруем произвольным образом элементы алгебры $g = \{C_1,...,C_s\}$. Для любого $C$ положим $C^1 = C$ и $C^{-1} = \Omega \setminus C$.
Рассмотрим кортеж $b=(b_1,...,b_s)$, где каждый элемент $b_i$ равен $+1$ либо $-1$ и образуем множество $B^b = \bigcap\limits_{i=1}^{s}C_i^{b_i}$.
Из определения алгебры и леммы 1.2 вытекает, что $B^b \in g$. Кроме того, так как $C_i = \bigcup\limits_{b:b_i=1}B^b$ всякий элемент алгебры $g$ можно получить как объединение некоторых множеств $B^b$. Также ясно, что при $b' \ne b'' \Righarrow B^{b'} \cap B^{b''} = \varnothing$. Тогда в качестве $B_i$ возьмем непустые множества $B^b$. $\triangle$.
(Концовку ужал, так как там и правда всё ясно).
Вопрос.
Как доказать, что $\forall i=1..s,  C_i = \bigcup\limits_{b:b_i=1}B^b$?
Я понимаю, как доказать включение справа налево - каждый элемент объединения содержит только лишь элементы из $C_i$, так как он является пересечением $C_i$ и каких-то комбинаций $C_j^{\pm 1}$, а по определению операции пересечения в любой такой $B^b$ могут попасть только элементы, принадлежащие $C_i$, значит любой элемент правой стороны является элементом левой стороны.
А вот с включением $\subseteq$ возникают проблемы. Пробую предположить, что слева есть элемент которого нет справа и не прихожу к противоречию. Пробую напрямую и ни к чему не прихожу.
Я доказал, что если в качестве $g$ берётся множество всех подмножеств $\Omega$, тогда каждое из $B_i$ это просто одноэлементное множество состоящее из некоторого элемента $\Omega$ и тогда ясно, что любой элемент алгебры получается как объединение этих "единичек". Соответственно поразбивал для лучшего понимания всякие там алгебры из всех подмножеств $\{1,2\}$ и пока это ни на что не натолкнуло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение06.12.2019, 13:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Возьмите минимальные по включению непустые элементы алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение06.12.2019, 14:16 


07/08/16
328
Padawan, спасибо за ответ.
А зачем мне их брать? У меня же есть конкретная конструкция (эти самые $B^b$), для которой и был поставлен мой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение07.12.2019, 12:09 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Попробуйте доказать в случае $s=2$, а потом $s=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение07.12.2019, 21:04 


07/08/16
328
Slav-27, спасибо за ответ.
В случае $s=2$ мы имеем $g =\{\varnothing, \Omega\}$, и получаем единственный атом разбиения как $B^b=\Omega$ и соответственно утверждение тут тривиально.
А вот трём $s$ равно не может быть, Вы имели ввиду четырём?

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение08.12.2019, 00:10 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Sdy в сообщении #1429213 писал(а):
А вот трём $s$ равно не может быть
Да. Но тут не обязательно считать, что $C_1,...,C_s$ образуют алгебру; пусть это просто какие-то подмножества $\Omega$ -- утверждение, которое вызывает у вас затруднения, всё равно верно. Поэтому предлагаю проверить его для случая двух призвольных подмножеств, а потом -- трёх.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение08.12.2019, 00:15 


07/08/16
328
Slav-27, спасибо за ответ.
Попробую и отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Порождение конечной алгебры
Сообщение10.12.2019, 07:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Sdy в сообщении #1429067 писал(а):
А зачем мне их брать?

Я не вчитывался в доказательство, которое Вы написали, а придумал свое. Смотрите, у нас есть некоторый конечный набор $\{B_1,\ldots,B_n\}$ непустых минимальных элементов алгебры. Заметим, что из минимальности следует, что для любого элемента $C$ алгебры и любого $B_i$ выполнено $B_i\subset C$ или $B_i\cap C=\varnothing$. В частности, $B_i\cap B_j=\varnothing$ при $i\neq j$. Далее начинаем из $C$ вычитать элементы $B_i$, пока это возможно. Получим в конце-концов пустое множество, т.к. в любом непустом элементе содержится минимальный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group