Открытые и замкнутые множества топологического пространства

[_DimONN_]

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, правильно ли решение:

Есть топологическое пространство $( X, \tau)$, где $X = \mathbb{Z}, \, \tau = \left\lbrace \varnothing, \, k^n\mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \right\rbrace, k \in \mathbb{N} .$

Необходимо найти все открытые и замкнутые множества топологического пространства.

Открытые - собственно все возможные множества из $\tau$: $\left\lbrace \varnothing, \, k^n\mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \right\rbrace$?

Замкнутые - все подмножества из $\mathbb{Z}$, которые не делятся на $k^n, \, n \in \mathbb{N}$ ?

$\mathbb{Z}$ также входит в замкнутые потому что $X\setminus\mathbb{Z}=\varnothing$ ?

Спасибо.

[Lia]

У Вас какие-то очень открытые вопросы.

_DimONN_ в сообщении #1428951 писал(а):

Открытые - собственно все возможные множества из $\tau$: $\left\lbrace \varnothing, \, k^n\mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \right\rbrace$?

Почему?

_DimONN_ в сообщении #1428951 писал(а):

Замкнутые - все подмножества из $\mathbb{Z}$, которые не делятся на $k^n, \, n \in \mathbb{N}$ ?

Почему? Или любое не открытое обязательно замкнуто? (и это если считать, что п. 1 верен)
Ну и так далее.

Как Вы используете определение топологии на пространстве? Где?

[_DimONN_]

"$\left\lbrace \varnothing, \, k^n\mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \right\rbrace$" потому что по определению "Множество $\boldsymbol{A}$ топологического пространства $( X, \tau)$ называется открытым в $X$, если $\boldsymbol{A} \in \tau.$

"Все числа из $\mathbb{Z}$, которые не делятся на $k^n, \, n \in \mathbb{N}$", потому что мы после вычитания из $\boldsymbol{X}, то есть $\boldsymbol{Z} в нашем случае, должны получить все, которые не делятся на $k^n, \, n \in \mathbb{N}$.

[Lia]

_DimONN_ в сообщении #1428953 писал(а):

"$\left\lbrace \varnothing, \, k^n\mathbb{Z}, \, n \in \mathbb{N} \cup \{0\} \right\rbrace$" потому что по определению "Множество $\boldsymbol{A}$ топологического пространства $( X, \tau)$ называется открытым в $X$, если $\boldsymbol{A} \in \tau.$

Хорошо.
А что ж тогда спрашиваете? :)

_DimONN_ в сообщении #1428953 писал(а):

мы после вычитания из $\boldsymbol{X}, то есть $\boldsymbol{Z} в нашем случае, должны получить все, которые не делятся на $k^n, \, n \in \mathbb{N}$

Попробуйте сказать это как-то иначе. Что такое "число не делится на $a$", понимают все, а что такое "множество не делится на $a$", хочется уточнить. И на которое из этих $a$, их у Вас много.

[_DimONN_]

Спрашиваю, потому что с топологией встретился совсем недавно.

Правильно будет: Все подмножества $\boldsymbol{A} \subset \mathbb{Z}$, каждое из которых состоит из чисел, которые не делятся на $k^n$, где $k, n \in \mathbb{N}$?

По поводу $\mathbb{Z}$, которое также является в данном случае замкнутым, правильное предположение? Потому что $\mathbf{X} \backslash \mathbb{Z} = \varnothing$, которое $\subset \mathbf{X}$?

[Lia]

_DimONN_ в сообщении #1428957 писал(а):

Все подмножества $\boldsymbol{A} \subset \mathbb{Z}$, каждое из которых состоит из чисел, которые не делятся на $k^n$, где $k, n \in \mathbb{N}$?

Кванторов в таких случаях надо не жалеть. На все $k^n$ или на некоторые? или на какой-то?
Подмножество $\{3,5,9\}$ - замкнуто?

_DimONN_ в сообщении #1428957 писал(а):

По поводу $\mathbb{Z}$, которое также является в данном случае замкнутым, правильное предположение? Потому что $\mathbf{X} \backslash \mathbb{Z} = \varnothing$, которое $\subset \mathbf{X}$?

Правильное. Все пространство и пустое множество и замкнуты, и открыты одновременно, что очевидно, если опять же посмотреть определения.

[_DimONN_]

Все подмножества $\boldsymbol{A} \subset \mathbb{Z}$, каждое из которых состоит из бесконечного количества целых чисел, которые не делятся на все $k^n$, где $n \in \mathbb{N} \cup \left\lbrace0\right\rbrace$ и $k \in \mathbb{N} $.

$\left\lbrace3, 5, 9\right\rbrace$ не замкнуто в $\boldsymbol{X}$ по отношению к топологии $\tau$ потому что, как минимум, имеет конечное количество членов.

[Lia]

Метод последовательных приближений - тоже хорошо :)

Множество $\{n^2 \mid n\in \mathbb N\}$ - годится?

-- 05.12.2019, 18:51 --

_DimONN_ в сообщении #1428960 писал(а):

которые не делятся на все $k^n$, где $n \in \mathbb{N} \cup \left\lbrace0\right\rbrace$ и $k \in \mathbb{N} $.

На все - это чересчур. Возьмите какое-то конкретное множество из топологии и попытайтесь описать его дополнение. Проблемы, как я их понимаю, большей частью именно с описанием.

[_DimONN_]

Множество $\{n^2 \mid n\in \mathbb N\}$ это открытое множество в $\boldsymbol{X}$, где $k \in \mathbb{N}$ и $n = 2. В тоже время, если мы вычтем его из \boldsymbol{X}, то открытое множество не получим - не могу подобрать такие k и n , чтобы получить какое-то множество из \tau. Как это строго доказать - не знаю (.

[Lia]

_DimONN_ в сообщении #1428967 писал(а):

Множество $\{n^2 \mid n\in \mathbb N\}$ это открытое множество в $\boldsymbol{X}$, где $k \in \mathbb{N}$ и $n = 2

Вам показалось.
Напишите открытое множество для $k=3$. Ну и для $k=2$.
Не так, как в условии, в сжатом виде, а через запятую, чтобы было видно, что туда входит, хотя бы по четыре-пять элементов.

[_DimONN_]

Да, Вы правы. Например, при $k=2$ топология будет выглядеть как $\left\lbrace \varnothing, \mathbb{Z}, 2\mathbb{Z}, 4\mathbb{Z}, 8\mathbb{Z},... , 2^n\mathbb{Z} \ | \ n\in\mathbb{N}\cup\left\lbrace0\right\rbrace \right\rbrace$.
При $k=3$ : $\left\lbrace \varnothing, \mathbb{Z}, 3\mathbb{Z}, 9\mathbb{Z}, 27\mathbb{Z},... , 3^n\mathbb{Z} \ | \ n\in\mathbb{N}\cup\left\lbrace0\right\rbrace \right\rbrace$.

Возможно, я не точно сформулировал условие: $k$ это фиксированное число для конкретной топологии, а $n$ пробегает ряд натуральных чисел вкупе с $\left\lbrace0\right\rbrace$.