Моноид. Зачем?

[ftp]

Буду рад, если кто-нибудь объяснит в чем суть моноида и зачем он нужен в принципе?

В учебнике Винберга никакого моноида вроде нет. Т.е. он обходится как-то без них. А вот у Кузнецова это первое определение - Кузнецов А. Курс алгебры.

[vpb]

Много чего является моноидом. Например, множество натуральных чисел по умножению. Или множество идеалов данного кольца, относительно умножения идеалов (узнаете позже). Короче, моноиды (синоним: полугруппа с единицей), фактически, на каждом шагу. Затем и нужны.

Учебник Кузнецова (конспект, точнее) --- годный. Что в Винберге нету --- ну и ладно. А в Кострикине есть. Воспримите это как данность, по поводу которой париться не надо.

К списку литературы в тексте Кузнецова стоит добавить хорошую книжку Л.А.Калужнин, Введение в общую алгебру.

[arseniiv]

Начнём теперь уже продолжим довольно хорошим списком примеров: https://en.wikipedia.org/wiki/Monoid#Examples.

Моноид — это обобщение (в первую очередь наверно группы), ну и обобщения делаются, чтобы покрыть случаи, похожие на что-то уже охваченное. Далее, моноидом является по умножению любое кольцо с единицей (vpb вот уже упомянул конкретнее натуральные числа), а для кольца без единицы там будет полугруппа, про полугруппы вы зря не спросили. Моноидом будет и решётка по любой своей операции (или полурешётка по единственной, но тут это опять обобщение и будут опять вопросы, зачем).

Моноид — в некотором смысле наименьшая естественная структура, позволяющая отображать строки над произвольным множеством в отдельные его элементы — просто применением моноидальной операции, при этом мы получим полезное свойство $f(s_1 s_2) = f(s_1) * f(s_2)$, где $*$ — моноидальная операция.

Натуральный пример группы преобразований распространяется и на моноиды: если множество всех изоморфизмов чего-нибудь — это всегда группа (по композиции), то множество эндоморфизмов — всегда моноид.

А для чего нужна группа, вы ведь знаете?

[ftp]

Спасибо.

arseniiv в сообщении #1428940 писал(а):

Моноид — в некотором смысле наименьшая естественная структура, позволяющая отображать строки над произвольным множеством в отдельные его элементы — просто применением моноидальной операции, при этом мы получим полезное свойство $f(s_1 s_2) = f(s_1) * f(s_2)$, где $*$ — моноидальная операция.

Что такое строки над произвольным множеством?

Зачем нужна группа не знаю. Для чего? Для меня это просто алгебраическая структура. Используя её удобно определять некоторые объекты и их преобразования. О конкретных применениях много чего написано.

[iifat]

ftp в сообщении #1428955 писал(а):

Используя её удобно определять некоторые объекты и их преобразования

Ну, вот вы и сами определили, зачем «нужно в принципе» любое математическое понятие.

[arseniiv]

ftp в сообщении #1428955 писал(а):

Зачем нужна группа не знаю. Для чего? Для меня это просто алгебраическая структура. Используя её удобно определять некоторые объекты и их преобразования.

А ну так с моноидом и всеми остальными ведь аналогично.

-- Чт дек 05, 2019 20:57:48 --

ftp в сообщении #1428955 писал(а):

Что такое строки над произвольным множеством?

Строки — это просто конечные последовательности элементов, то есть банально кортежи, но когда говорят «строка», обычно подразумевается, что будут интересовать вхождения строк друг в друга и связанные с этим вещи типа конкатенации (для произвольных последовательностей подпоследовательность может быть и с дырками, а тут чаще нет); плюс кортеж длины $n$ — это элемент некоторого $A_1\times\ldots\times A_n$, а строки однородны, они элементы всевозможных $A^n$, и длина обычно нам интересна всякая, так что берут звёздочку Клини $A^* = \bigcup_{m=0}^\infty A^m$.

[BVR]

Есть такая книжка Биргхоф и Барти Современная прикладная алгебра. Там, на основе алгебры моноидов строится язык Паскаль (как раз о чем говорил arseniiv).
Есть еще одна книжка (более новая) Кук и Бейз "Компьютерная математика". Там есть глава про алгебраические структуры и много внимания уделено как раз алгебре моноидов (и там про моноиды есть в главе про транзитивные замыкания отношений)