Теорема Уитни 2

[Nickspa]

$f:[0,1]\to \mathbb{R}^2$ - гладкая замкнутая кривая. $f(0)=f(1)=b,f'(0)=f'(1)$.
Точки самопересечения - простые и трансверсальные. $f(0)=f(1)$ - не точка самопересечения.
$ind(f)$ - класс в $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace)$ кривой $f':[0,1]\to \mathbb{R}^2\setminus \left\lbrace 0\right\rbrace$.
Знак точки самопересечения $\varepsilon (a)=+1$ если при $t_1<t_2$ базис $(f'(t_1),f'(t_2))$ - правоориентированный, иначе $\varepsilon (a)=-1$. ($\left\lbrace t_1,t_2\right\rbrace=f^{-1}(a)$)
Для произвольной $c\notin f(S^1)$ примем $\rho_c$ - класс петли $f:[0,1]\to \mathbb{R}^2\setminus \left\lbrace c\right\rbrace$ в группе $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus \left\lbrace c\right\rbrace)$.
1) Пусть $c_1,c_2$ - точки вблизи образа $f(S^1)$, по разные его стороны, далеко от точек самопересечения. Доказать, что $\rho_{c_1}$ и $\rho_{c_2}$ отличаются на 1;
2) Пусть $c_1,c_2$ находятся близко к $f(0)=f(1)=b$. Доказать, что $ind(f)=\sum\limits_{i}^{}\varepsilon(a_i)+\rho_{c_1}+\rho_{c_2}$.

С предыдущей вариацией теоремы Уитни пока не совладал, может, здесь получится.
1) к чему-то пришёл.
Для точки $c\notin f(S^1)$ введём отображение $g_c=\frac{f(S^1)-c}{\left\lVert f(S^1)-c\right\rVert}$.
Возьмём композицию $h_c=g_c\circ f:S^1\to f(S^1)\to S^1$.
$\rho_c=deg(h_c)$ - верно ведь?
А эта степень равна сумме знаков прообразов регулярной точки отображения $g_c$.
Пусть $d$ - точка пересечения отрезка $c_1c_2$ с $f(S^1)$. И пусть $g_{c_1}(d)$ - регулярное значение отображения $g_{c_1}$. (если нет, то можно слегка подвинуть $c_2$).
Тогда $deg(h_{c_1})$ и $deg(h_{c_2})$ будут различаться как раз на знак $d$, так как для одной из точек $c_i$ $d$ будет в прообразе, а для другой - нет.
Верные рассуждения? (хотя бы в целом?)
2) не получается привязать $ind(f)$ к сумме знаков прообразов. Может кто подсказать?