|
В своё время мне попалась статья А.С.Кронрода в "Успехах Математических наук" (за 1948, 1949, 1950, 1951 или 1952 год) под названием "О функциях двух переменных", где излагалась такая точка зрения на предмет, что ряд свойств функций двух переменных похожи на свойства одномерных функций, но есть и существенно двумерные свойства. Естественно, дело строилось на дереве компонент (множества уровня) функции. (Эта тема всплывала в одной из проблем Гильберта, в работах Колмогорова и у Арнольда в диссертации...)
Пытаясь как-то прочитать её, я понял, что математика могла быть построена иначе, потому что вопрос об иерархии свойств показался мне чрезвычайно важным, если не ключевым.
Возьмём, например, дифференциальные уравнения. Учебники по диффурам говорят нам, что дифференциальные уравнения --- это известные соотношения, но ничего не говорится о том, что такое дифференциальное уравнение вообще. В математике привыкли давать чёткие описания объектам, но здесь этого не наблюдается. В результате мы имеем дело с искусством интегрирования уравнений, а не с алгебраизированной теорией, обеспеченной собственным исчислением.
Если удасться понять, как оператор дифференцирования действует на иерархию свойств функций, то можно будет найти искомое исчисление...
Имеются вопросы:
1. Известно ли что-то вам о работах подобного рода?
2. Что вы сами думаете о том, что функции многих переменных можно сводить к суперпозиции функций меньшего числа переменных?
3. Можно ли в принципе навести порядок в континууме функциональных пространств, научившись "квантовать" функции на основе их свойств?
|
