2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока
Сообщение04.12.2019, 11:57 


27/11/19
23
Москва
Задача из книги Боголюбов, Ширков "Квантовые поля".
Найти решение уравнения Клейна-Гордона-Фока:

$(-\partial_\mu\partial^\mu-m^2)\varphi=0$, где $-\partial_\mu\partial^\mu$ - оператор Д'Аламбера, $\varphi$ - поле, $m$ -масса.

Предполагая, что $\varphi$ и $\dot{\varphi}=\frac{\partial\varphi}{\partial t}$ заданы на плоскости $t=y^0$.
Выразить положительно и отрицательно-частотные части функции поля через $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t,y)$ и частотные функции Паули-Йордана:

$D^\pm=\int\limits e^{ikx}\theta(\pm k^0)\delta(k^2-m^2)dk=\frac{\mp}{(2\pi)^3}\int\limits\frac{d\vec{k}}{2k^0}e^{\pm ikx}$, где $k^0=+\sqrt{\vec{k}^2+m^2}$.

Решение уравнения выглядит следующим образом:

$\varphi(x)=\int\limits \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{ikx}\delta(k^2-m^2)\tilde{\varphi}(k)dk$

После разложения $\varphi(x)=\varphi^+(x)+\varphi^-(x)$ и интегрирования по $k^0$, получим:

$\varphi^{\pm}(x)=\int\limits \frac{1}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2k^0}}e^{\pm ikx}\varphi^{\pm}(\vec{k})d\vec{k}$, здесь, $\varphi^{\pm}(\vec{k})=\frac{\varphi^{\pm}(k^0,\vec{k})}{\sqrt{2k^0}}$.

Обратное преобразование дает:

$\tilde{\varphi}^{\pm}(k)=\sqrt{2k^0}\varphi^{\pm}(\vec{k})=(2\pi)^{-3/2}\int\limits e^{\mp ikx}[k^0\varphi(x)\mp i\dot{\varphi}(x)]d\vec{x}$.

Можно, наверно, выразить $\varphi(\vec{k})$ через $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t, y)$, т.к. интегрирование проводится по координатному пространству, я могу выбрать любую точку во времени. А затем подставить это в выражение для $\varphi^{\pm}(x)$. Но вычислить интегралы и найти вид $\varphi^{\pm}(\vec{k})$ я не могу, т.к. не знаю вид функций $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t, y)$, а простая подставка в $\varphi^{\pm}(x)$ кажется неправильным шагом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока
Сообщение04.12.2019, 23:07 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
DismasK в сообщении #1428794 писал(а):
Предполагая, что $\varphi$ и $\dot{\varphi}=\frac{\partial\varphi}{\partial t}$ заданы на плоскости $t=y^0$.
$y_0$ -- постоянное число? Тогда будем считать, что это ноль.

DismasK в сообщении #1428794 писал(а):
Можно, наверно, выразить $\varphi(\vec{k})$ через $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t, y)$, т.к. интегрирование проводится по координатному пространству, я могу выбрать любую точку во времени.
Известно общее решение уравнения Клейна -- Гордона, оно выражается через "произвольную функцию" $a(\vec k)$ (у вас она обозначена как-то по-другому). Теперь надо понять, какую $a(\vec k)$ взять, чтобы решение удовлетворяло заданным начальным условиям, то есть чтобы было $\varphi(0,\vec y)=u(\vec y)$, $\dot \varphi(0,\vec y)=v(\vec y)$, где $u$ и $v$ заданные функции. То есть надо выразить $a(\vec k)$ через $u$ и $v$. Вы всё правильно делаете, продолжайте. И помните, что Фурье-образ произведения -- это свёртка Фурье-образов множителей, с точностью до чего-то там.

-- 05.12.2019, 00:10 --

DismasK в сообщении #1428794 писал(а):
Но вычислить интегралы и найти вид $\varphi^{\pm}(\vec{k})$ я не могу, т.к. не знаю вид функций $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t, y)$
Ну останутся под инегралом, что такого, главное выразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока
Сообщение05.12.2019, 11:20 


27/11/19
23
Москва
DismasK в сообщении #1428794 писал(а):
Можно, наверно, выразить $\varphi(\vec{k})$ через $\varphi(t,y)$ и $\dot{\varphi}(t, y)$, т.к. интегрирование проводится по координатному пространству, я могу выбрать любую точку во времени.
Известно общее решение уравнения Клейна -- Гордона, оно выражается через "произвольную функцию" $a(\vec k)$ (у вас она обозначена как-то по-другому). Теперь надо понять, какую $a(\vec k)$ взять, чтобы решение удовлетворяло заданным начальным условиям, то есть чтобы было $\varphi(0,\vec y)=u(\vec y)$, $\dot \varphi(0,\vec y)=v(\vec y)$, где $u$ и $v$ заданные функции. То есть надо выразить $a(\vec k)$ через $u$ и $v$. Вы всё правильно делаете, продолжайте. И помните, что Фурье-образ произведения -- это свёртка Фурье-образов множителей, с точностью до чего-то там.

Спасибо, вот, что получилось. С помощью обратного преобразования я выразил $\varphi(\vec{k})$ через $u$ и $v$, проинтегрировав по $\vec y$. Дальше подставил в разложение $\varphi(x)$ и получил:

$\varphi(x)=\int\limits d\vec{y} D^{\pm}(x-y)(i\dot{\varphi}(y)\mp k^0\varphi(y))$. Выглядит приятно, но я здесь не использовал свертку Фурье-образов, я же не умножал тут фурье образы, а подставил обратное преобразование в прямое. Я ничего не упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока
Сообщение05.12.2019, 12:14 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
DismasK в сообщении #1428924 писал(а):
я здесь не использовал свертку Фурье-образов
То, что вы написали, это и есть свёртка. $\int dy f(x-y)g(y)$.

Очень похоже на правду (но не поручусь, что вы не потеряли множитель и не перепутали плюсы с минусами, следите за этим сами). И аккуратнее надо!
DismasK в сообщении #1428924 писал(а):
$\varphi(x)=\int\limits d\vec{y} D^{\pm}(x-y)(i\dot{\varphi}(y)\mp k^0\varphi(y))$.
$\varphi^{\pm}(x)=\int\limits d\vec{y} D^{\pm}(x^0, \vec x-\vec y)(i\dot{\varphi}(0,\vec y)\mp \sqrt{\vec y^2+m^2}\varphi(0,\vec y))$,
$\varphi(x)=\varphi^+(x)+\varphi^-(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение уравнения Клейна-Гордона-Фока
Сообщение05.12.2019, 12:22 


27/11/19
23
Москва
Slav-27 в сообщении #1428927 писал(а):
DismasK в сообщении #1428924 писал(а):
я здесь не использовал свертку Фурье-образов
То, что вы написали, это и есть свёртка. $\int dy f(x-y)g(y)$.

Очень похоже на правду (но не поручусь, что вы не потеряли множитель и не перепутали плюсы с минусами, следите за этим сами). И аккуратнее надо!
DismasK в сообщении #1428924 писал(а):
$\varphi(x)=\int\limits d\vec{y} D^{\pm}(x-y)(i\dot{\varphi}(y)\mp k^0\varphi(y))$.
$\varphi^{\pm}(x)=\int\limits d\vec{y} D^{\pm}(x^0, \vec x-\vec y)(i\dot{\varphi}(0,\vec y)\mp \sqrt{\vec y^2+m^2}\varphi(0,\vec y))$,
$\varphi(x)=\varphi^+(x)+\varphi^-(x)$.


Понял, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group